Question

Um balão está a uma altura de 50 metros, e esta aumenta a uma taxa constante de 5 m/s. Umciclista passa por baixo do balão, se locomovendo em uma linha reta a uma velocidade constantede 10 m/s. Qual é a taxa de variação entre o ciclista e o balão dois segundo após o ciclista passarpor baixo do balão?

Answer 1

Imagine um triângulo retângulo, onde chamaremos o cateto adjacente ao ângulo de x, o oposto de y e a hipotenusa de s. 

Aplicando o Teorema de Pitágoras, ficamos com:

$s^{2}=x^{2}+y^{2}$

Derivando cada termo e adotando as notações ds/dt, dx/dt e dy/dt , temos:

$2s \, \displaystyle \frac{ds}{dt} = 2x \, \frac{dx}{dt} + 2y \, \frac{dy}{dt}$

Vamos agora isolar ds/dt, que é exatamente o que o problema quer:

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{2x \, \displaystyle \frac{dx}{dt} + 2y \, \frac{dy}{dt}}{2s} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{2(x \, \displaystyle \frac{dx}{dt} + y \, \frac{dy}{dt})}{2s} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{x \, \displaystyle \frac{dx}{dt} + y \, \frac{dy}{dt}}{s}$

Perceba que se s² = x² + y² , então:

$s= \sqrt{x^{2}+y^{2}}$

E com isso:

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{x \, \displaystyle \frac{dx}{dt} + y \, \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

Se após t = 2s o ciclista estava à uma velocidade de 10 m/s, então, a distância x percorrida por ele após passar por debaixo do balão é:

$v= \displaystyle \frac{d}{t} \\ \\ \\ v= \displaystyle \frac{x}{t} \\ \\ \\ 10= \displaystyle \frac{x}{2} \\ \\ \\ x=20 \, m$

Além disso, quando ao passar por debaixo do balão o mesmo encontrava-se à 50 m do solo e este subia a uma velocidade de 5 m/s, então depois de 2 segundos o balão já estava a 60 m do solo. Contudo, juntando os dados:

$y=60 \, m \\ \\ \\ x= 20 \, m \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = 5 \, m/s \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dx}{dt} = 10 \, m/s$

Temos:

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{x \, \displaystyle \frac{dx}{dt} + y \, \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{20 \cdot 10 + 60 \cdot 5}{\sqrt{20^{2}+60^{2}}} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{500}{\sqrt{4000}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\displaystyle \frac{ds}{dt}=7,91 \, m/s}}$