Question

Um balão esferico perde ar por um furo de tal forma que seu raio diminui a uma taxa de 2cm/min. Qual a taxa de diminuição do volume, quando o raio do balao é r=50cm

Answer 1

Sejam r e V o raio e o volume do balão,respectivamente.Suponha que dr/dt e dV/dt representem a taxa de diminuição do raio e do volume,nessa ordem,em um certo tempo t.Assim,vale que:

I.dr/dt= 2 cm/min
II.r=50 cm
III. dV/dt=?

Como o balão é esférico,veja que:

V=(4/3)*π * r³

Derivando essa expressão em função de t:

dV/dt=(4/3)*π * 3r² * dr/dt 

Substituindo:

dV/dt=(4/3)*π *3*50²*2

Portanto:

dV/dt=8π * 2500 = 20000π cm³/min <--- esta é a resposta

Answer 2

Para resolver problemas de taxas relacionadas,adota-se o seguinte roteiro:

1)Identificar as variáveis

2) Achar uma relação entre as variáveis

3)Derivar em relação a variável de referência

4) Substituir os valores conhecidos

5) Isolar o que se deseja calcular.

Dados:

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=2cm/min}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{R=50cm}}}$

Passo 1) volume e raio são as variáveis

passo 2) relação entre volume e raio:

$\boxed{\boxed{\mathsf{V=\dfrac{4}{3}.\pi.{R}^{3}}}}$

passo 3) a variável de referência é o tempo

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}.\pi.3{R}^{2}.\dfrac{dR}{dt}}$

passo 4) substituindo os valores temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}.\pi.3.{50}^{2}.2}}$

isolando$\dfrac{dV}{dt}$ temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=4.\pi.2500.2}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=20000\pi{cm}^{3}/min}}}$