Question

Um balão é solto ao nível do olho de um observador que está a 50 m de distância. O balão sobe verticalmente a taxa de 5 m/s. Com que rapidez o ângulo de elevação está crescendo 6 segundos após o momento da soltura?

Answer 1

O angulô de elevação cresce a taxa 5/68 rad/s.

Resposta conferida,analizada com sucesso.

Answer 2

A rapidez com que  o ângulo de elevação está crescendo 6 segundos após o momento da soltura é igual a: $\frac{5}{68} \;rad/s$

Sabemos do enunciado que o balão sobe verticalmente a taxa  x = 5 m/s e logo temos que o ângulo de elevação está crescendo 6 segundos após o momento da soltura, isso é:

$x = 5\;m/s\;*\; 6 s\\\\\boxed{x = 30\;m}$

Assim

$\boxed{\frac{dx}{dt} = 5}$

Logo com os ângulos aplicamos as identidades trigonométricas:

$tg\theta = \frac{CO}{CA}\\\\tg\theta = \frac{x}{50}$

Derivamos de forma implicita e temos:

$sec^{2} \theta = \frac{d\theta}{dt} \\\\sec^{2} \theta = \frac{1\;dx}{50\;dt}$

$cos\theta = \frac{50}{H} \\\\assim\; , sec\theta = \frac{H}{50}$

Agora vamos determinar o valor de H, com o teorema de pitâgoras:

$H^{2} = a^{2} + b^{2}\\\\H^{2} = 50^{2} + 30^{2}\\\\H^{2} = 2500 + 900\\\\H = \sqrt{3400}\\\\\boxed{H = 10\sqrt{34}}$

Agora subsituimos na secante θ e voltamos para sua derivada :

$sec\theta = \frac{10\sqrt{34} }{50}\\\\sec\theta = \frac{2\sqrt{34}}{10}$

$sec\theta = \frac{\sqrt{34}}{5}$

$sec^{2} \theta = \frac{\sqrt{34}}{5} \;e\; \frac{dx}{dt} = 5$

Assim teremos:

$(\frac{\sqrt{34}}{5})^{2}\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{50}*5\\\\(\frac{34}{25})\frac{d\theta}{dt} = \frac{5}{50}\\\\ \frac{d\theta}{dt} = \frac{5*25}{34\;*\;50}\\\\ \frac{d\theta}{dt} = \frac{125}{1700}\\\\\boxed{\frac{d\theta}{dt} = \frac{5}{68} \;rad/s}$