Matemática, perguntado por jjgama012, 11 meses atrás

Um balão de borracha de forma esférica é enchido de ar, de modo que seu raio aumenta à razão de 0,2 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume desse balão em relação ao tempo (em m3/s), no instante em que o raio for igual a 10 cm.

Soluções para a tarefa

Respondido por Chanceler
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Resposta:

\pi8,0*10^{-5}m^{3} /s

Explicação passo-a-passo:

À medida que o balão recebe ar, ele toma forma de esfera. E como toda esfera tem seu volume definido pela forma:

V =\frac{4\pi r^{3} }{3}, onde r refere-se ao raio do balão

Quando derivamos a equação do volume obtemos a taxa de variação do volume em função do raio:

\frac{dV}{dr} = 4\pi r^{2}

Quando multiplicamos a taxa de variação do volume em função do raio e a taxa do raio em função do tempo, obteremos a taxa de variação do volume em função do tempo:

\frac{dV}{dr} *\frac{dr}{ds} =\frac{dV}{ds}

o \frac{dr}{ds} nós temos, que é 0,2cm/s.

o \frac{dV}{dr} nós temos sua fórmula: 4\pi r^{2}. Porém, ele quer saber a taxa de variação do volume em função do tempo quando o raio for de 10cm. Sendo assim, substituiremos r por 10cm.

\frac{dV}{dr} =4\pi r^{2} =4\pi 10^{2} = 400\pi \frac{cm^{3} }{cm} =400\pi cm^{2}

Afora que temos o \frac{dr}{ds} =0,2\frac{cm}{s} e o \frac{dV}{dr} = 400\pi cm^{2}, lancemos na equação que fornece o \frac{dV}{ds}:

\frac{dV}{ds} =\frac{dV}{dr} *\frac{dr}{ds} = 400\pi cm^{2} *0,2\frac{cm}{s} = 80\pi \frac{cm^{3} }{s}.

A taxa de variação do volume em relação ao tempo é 80\pi cm³.

Como ele quer em metros cúbicos, divida por 1 milhão:

\frac{80\pi cm^{3} }{1000000} = 0,00008\pi m^{3} =\pi8,0*10^{-5} m^{3}/s
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