Question

Um balão A sobe a uma taxa va=12 km/h enquanto é conduzido horizontalmente por um vento com velocidade de módulo vw=20 Km/h. Se um saco de areia que serve de lastro é abandonado do balão a uma altura h=50m, determine o tempo necessário para o lastro atingir o solo. Suponha que o saco foi solto com a mesma velocidade do balão. Com velocidade ele atinge o solo?

Answer 1

Resposta:

No momento em que é abandonado, o saco de areia tem a mesma velocidade do balão, qual seja:

$v_A_x = 20\,\,km/h \approx 5,56\,\,m/s;\\\\v_A_y = 12\,\,km/h \approx 3,33\,\,m/s.$

A posição vertical do lastro, em função do tempo, é dada por:

$y(t) = y_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow y(t) = 50 + 3,33t -\frac{1}{2}gt^2\\\\\Longleftrightarrow y(t) = 50 + 3,33t -4,91t^2.$

Calculemos o instante em que y = 0:

$0 = 50 + 3,33t - 4,91 t^2$

As raízes da equação acima são $t_1 = -2,87\,\,s$ (não convém) e $t_2 = 3,55\,\,s.$

Logo, o lastro leva 3,55 segundos para chegar ao solo.

A velocidade vertical do lastro, em função do tempo, é dada por:

$v_y(t) = v_0 + at\\\\\Longleftrightarrow v_y(t) = 3,33- 9,81t$

Para t = 3,55, temos:

$v_y = -31,50\,\,m/s.$

Já sua velocidade horizontal é constante durante todo o percurso:

$v_x = 5,56\,\,/s.$

Calculemos o módulo da velocidade do lastro, ao chegar ao solo:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\\\\\Longleftrightarrow v = \sqrt{5,56^2 + (-31,50)^2}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v = 32,0\,\,m/s \approx 115\,\,km/h.}$