Question

Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.

Answer 1

Imagine um triângulo retângulo. Chamaremos o cateto oposto ao angulo de x, o adjacente de z representando a altura do avião e valendo 2, e por último a hipotenusa, que chamaremos de y, onde representa a distância entre o avião e a estação. Aplicando Pitágoras, obtemos:

$y^{2}=x^{2}+2^{2} \\ \\ \\ y^{2} = x^{2}+4$

Derivando cada termo e adotando as notações em função do tempo, temos:

$\displaystyle y^{2} = x^{2} + 4 \\ \\ \\ 2y \, \frac{dy}{dt} = 2x \, \frac{dx}{dt}$

Temos que isolar a notação dy/dt que representa a variação da hipotenusa e simplesmente, a variação da distância entre o avião e a estação:

$\displaystyle 2y \, \frac{dy}{dt} = 2x \, \frac{dx}{dt} \\ \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{2x}{2y} \, \frac{dx}{dt} \\ \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{x}{y} \, \frac{dx}{dt}$

Perceba que se y² = x² + 4, então:

$x = \sqrt{y^2-4}$

Então temos:

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{x}{y} \, \frac{dx}{dt} \\ \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{y^{2}-4}}{y} \, \frac{dx}{dt}$

Considere as informações dadas:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=800 \, km/h \\ \\ \\ y=3 \, km \\ \\ \\ \frac{dy}{dt}= \, ?$

Substituindo esses valores na expressão, temos a seguinte resposta para o problema:

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{y^{2}-4}}{y} \, \frac{dx}{dt} \\ \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{3^{2}-4}}{3} \cdot 800 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{dy}{dt} = \frac{800\sqrt{5}}{3} \, km/h}}$