Question

Um avião sobrevoa uma cidade e é avistado por uma pessoa (ponto O) em dois momentos, quando está nos pontos A e B, segundo ângulos de 30° e 45° com a horizontal. Sabendo que de A até B o avião deslocou-se em linha reta e percorreu uma distância de 3000 metros, qual é a altura aproximada do avião ? Se necessário, use as aproximações √2 = 1,4 e √3 = 1,7.

Answer 1

Parece que você esqueceu de adicionar a imagem de referência, mas adiciono a seguir uma imagem de um exercício bastante similar para ajudar nos seus estudos.

Perceba: a figura nos mostra que a situação descrita no enunciado forma um triângulo. Seria interessante utilizar então a Lei dos Senos, pois conhecemos os angulos desse triãngulo mas sabemos apenas o valor de um dos seus lados.

Sabendo que a soma dos angulos internos de um triângulo é 180º, o angulo que falta tera: 180 - 30 - 45 = 105º

Montando então a lei dos senos, teremos:

$\frac{3 000}{sen105} = \frac{x}{sen45}$

Sendo sen 105º = sen (45+60)

Lembrando da formula de adição de arcos:

sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen(45+60) = sen 45 . cos60 + sen 60.cos45

sen(45+60) = √2/2 * 1/2 + √3/2*√2/2

sen(45+60) = √2/4 + √3*√2/4

sen(45+60) = (√2+√5)/4

Voltando a formula, teremos:

$\frac{3 000}{sen105} = \frac{x}{sen45} \\ \\ \frac{3 000}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{4}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ \\ x*(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{4}) = 3000 * \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ 2x\sqrt{2} + 2x\sqrt{5} = 4*3000*\sqrt{2} \\ \\ 2x\sqrt{2} + 2x\sqrt{2}*\sqrt{3} = 12 000*\sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2} ( 2x + 2x\sqrt{3} ) = \sqrt{2} * 12 000 \\ \\ 2x + 2x\sqrt{3} = 12 000 \\ \\ sendo \sqrt{3} = 1,7 \\ 2x + 2x*1,7 = 12 000 \\ 2x + 3,4x = 12 000\\ 5,4x = 12 000\\ \frac{27}{5}x = 12 000$

x = 60 000/27

Perceba: o triângulo branco é retângulo, onde y é a altura do avião.

Perceba também: o angulo superior do triangulo branco mede 60º, porque 90 - 30 = 60.

Com isso, faremos:

cos αº = cat adj/hip

cos 60º = y/(60 000/27)

cos60º = y * 27/60 000

$\frac{1}{2} = \frac{27y}{60 000} \\ 60 000= 2*27y \\ 60 000 = 54y y = 1 111,1 m$