Question

um avião percorre 103 km em linha reta, fazendo um angulo de 22,5 graus a direção norte-sul. quais são os deslocamentos do avião nas direções norte-sul e leste-oeste?

Answer 1

Olá!

Primeiramente vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo de 22,5°.

Pela equação do cosseno da soma de arcos:
$\cos(a+b)=\cos{a}.\cos{b}-\sin{a}.\sin{b}$

Adotando a = b = 22,5°:
$\cos(22{,}5^\circ+22{,}5^\circ)=\cos{22{,}5^\circ}.\cos{22{,}5^\circ}-\sin{22{,}5^\circ}.\sin{22{,}5^\circ}\\\cos(45^\circ)=\cos^2(22{,}5^\circ)-\sin^2(22{,}5^\circ)$

Pela equação fundamental da trigonometria:
$\sin^2(22{,}5^\circ)+\cos^2(22{,}5^\circ)=1\\\sin^2(22{,}5^\circ)=1-\cos^2(22{,}5^\circ)$

Substituindo:
$\cos(45^\circ)=\cos^2(22{,}5^\circ)-\sin^2(22{,}5^\circ)\\\cos(45^\circ)=\cos^2(22{,}5^\circ)-[1-\cos^2(22{,}5^\circ)]\\\cos(45^\circ)=2\cos^2(22{,}5^\circ)-1$

Desenvolvendo a equação:
$\cos(45^\circ)=2\cos^2(22{,}5^\circ)-1\\\dfrac{\sqrt2}{2}=2\cos^2(22{,}5^\circ)-1\\\cos^2(22{,}5^\circ)=\dfrac{2+\sqrt2}{4}\\\left|\cos(22{,}5^\circ)\right|=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$

Retomando a equação fundamental da trigonometria, calcularemos o seno de 22,5°.
$\sin^2(22{,}5^\circ)=1-\cos(22{,}5^\circ)\\\sin^2(22{,}5^\circ)=1-\dfrac{2+\sqrt2}{4}\\\sin^2(22{,}5^\circ)=\dfrac{2-\sqrt2}{2}\\\left|\sin(22{,}5^\circ)\right|=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$

Finalmente, os deslocamentos na direção norte-sul e leste-oeste são dados, respectivamente, por:
$\begin{matrix}d_{NS}=d\cos(22{,}5^\circ)\\d_{NS}=103.\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\\\boxed{d_{NS}=51{,}5\sqrt{2+\sqrt2}\,\text{m}}\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}d_{LO}=d\sin(22{,}5^\circ)\\d_{LO}=103.\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\\\boxed{d_{LO}=51{,}5\sqrt{2-\sqrt2}\,\text{m}}\end{matrix}$