Question

Um avião descreve um looping num plano vertical, com velocidade de 720 km/h. Para que no ponto
mais baixo da trajetória a intensidade da força que o piloto exerce no banco seja o triplo de seu peso, é
necessário que o raio do looping seja de (g = 10 m/s2):
a) 0,5 km.
b) 1,0 km.
c) 1,5 km.
d) 2,0 km.
e) 2,5 km.

Answer 1

Temos aqui um exemplo de movimento circular uniforme.

Sabemos que, no MCU, a força resultante será a força centrípeta, ou seja, uma força radial apontada para o centro da trajetória circular.

Vamos então apontar as forças que estão agindo na situação descrita.

Acompanhe com auxílio do desenho anexado.

Note que temos a força Peso (P) do piloto apontada para baixo (centro da Terra), a reação Normal (N) que o banco oferece à força que o piloto exerce sobre ele, apontada para cima, e a resultante centrípeta (Fc) também apontada para cima.

Convencionando que as forças apontadas pra cima tenha sinal positivo e forças apontadas para baixo, negativo, a resultante centrípeta será dada por:

$\boxed{F_c~=~N~-~P}$

A reação Normal, como dito anteriormente, é a reação que o banco oferece à força exercida pelo piloto, ou seja, N é numericamente igual à essa força exercida pelo piloto.

No texto é dito que essa força é o triplo do Peso, logo:

$\boxed{N~=~3\cdot P}$

Substituindo na expressão da força centrípeta, temos:

$F_c~=~3P~-~P\\\\\\F_c~=~2P\\\\\\Como~~P=m\cdot g,~temos:\\\\\\\boxed{F_c~=~2\cdot m\cdot g}$

Pela 2ª Lei de Newton, sabemos que a força centrípeta é dada pelo produto entre massa e a aceleração centrípeta, então:

$F_c~=~2\cdot m\cdot g\\\\\\m\cdot a_c~=~2\cdot m\cdot g\\\\\\\backslash\!\!\!m\cdot a_c~=~2\cdot \backslash\!\!\!m\cdot g\\\\\\\boxed{a_c~=~2\cdot g}$

A aceleração centrípeta no MCU, por sua vez, é dada pelo quociente entre o quadrado da velocidade e o raio da trajetória.

$\boxed{a_c~=~\dfrac{v^2}{R}}$

Substituindo a expressão achada para a aceleração centrípeta:

$2\cdot g~=~\dfrac{v^2}{R}\\\\\\R\cdot 2\cdot g~=~v^2\\\\\\\boxed{R~=~\dfrac{v^2}{2\cdot g}}$

Achada a expressão para o calculo do raio da trajetória, precisamos apenas ter um último cuidado antes de substituir os valores, a velocidade deverá ser convertida para m/s.

$\overbrace{\boxed{km/h~~\Rightarrow~\div3,6~\Rightarrow~~ m/s}}^{Conversao~km/h~\rightarrow~m/s}\\\\\\720~km/h~~ \Rightarrow~\dfrac{720}{3,6}~=~\boxed{200~m/s}$

Calculando o raio:

$R~=~\dfrac{200^2}{2\cdot 10}\\\\\\R~=~\dfrac{40000}{20}\\\\\\R~=~2000~metros\\\\\\1~km~=~1000~m~~\therefore~\boxed{R~=~2~km}~~\Rightarrow~Letra~D\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$