Question

Um automóvel sai de uma cidade A e vai para uma cidade B. Nesse trajeto, devido àsinalização, o automóvel percorre o primeiro 1/6 da trajetória com velocidade de 40km/h, a parte intermediária, que corresponde a 1/3 da trajetória, é percorrida comvelocidade de 80 km/h e o restante do trajeto com velocidade de 120 km/h. Nessascondições, DETERMINE a velocidade média desenvolvida pelo automóvel nessetrajeto.

Answer 1

A velocidade média é determinada por:

$\mathsf{Vm=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}}$

Onde a trajetória foi realizada com velocidades em 3 partes:

๏ 1ª parte: 1/6 da trajetória com $\mathsf{v_1=40\:km/h}$
๏ 2ª parte: 1/3 da trajetória com $\mathsf{v_2=80\:km/h}$
๏ 3ª parte: 1/2 da trajetória com $\mathsf{v_3=120\:km/h}$

Confirmando o valor correspondente da 3ª parte:

$\mathsf{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+k=1}\\\\\\\mathsf{k=1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{3}}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{6}{6}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2\cdot 1}{2\cdot 3}}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{6-1-2}{6}}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{6-3}{6}}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{3}{6}}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{1}{2}}$

Considerando que a distância entre as cidades A e B seja de $\mathsf{x\:km}$.

Agora devemos encontrar o tempo gasto em cada trecho:

๏ Tempo 1ª parte:

$\mathsf{v_1=\dfrac{\Delta S_1}{\Delta t_1}}\\\\\\\mathsf{40=\dfrac{\dfrac{1}{6}\:de\:x}{\Delta t_1}}\\\\\\\mathsf{40=\dfrac{\dfrac{x}{6}}{\Delta t_1}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_1=\dfrac{x}{6}\cdot \dfrac{1}{40}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_1=\dfrac{x}{240}\:horas}$

๏ Tempo 2ª parte:

$\mathsf{v_2=\dfrac{\Delta S_2}{\Delta t_2}}\\\\\\\mathsf{80=\dfrac{\dfrac{1}{3}\:de\:x}{\Delta t_2}}\\\\\\\mathsf{80=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\Delta t_2}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_2=\dfrac{x}{3}\cdot \dfrac{1}{80}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_1=\dfrac{x}{240}\:horas}$

๏ Tempo 3ª parte:

$\mathsf{v_3=\dfrac{\Delta S_3}{\Delta t_3}}\\\\\\\mathsf{120=\dfrac{\dfrac{1}{2}\:de\:x}{\Delta t_3}}\\\\\\\mathsf{120=\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\Delta t_3}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_3=\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{120}}\\\\\\\mathsf{\Delta t_3=\dfrac{x}{240}\:horas}$

Somando todos os tempos teremos:

$\mathsf{\Delta t_{total}=\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3}\\\\\mathsf{\Delta t_{total}=\dfrac{x}{240}+\dfrac{x}{240}+\dfrac{x}{240}}\\\\\mathsf{\Delta t_{total}=\dfrac{3x}{240}}\\\\\mathsf{\Delta t_{total}=\dfrac{x}{80}\:horas}$

Calculando a velocidade média total teremos:

$\mathsf{v_m=\dfrac{\Delta S_{total}}{\Delta t_{total}}}\\\\\\\mathsf{v_m=\dfrac{x}{\dfrac{x}{80}}}\\\\\\\mathsf{v_m= \diagup\!\!\!\!x\cdot \dfrac{80}{ \diagup\!\!\!\!x}}\\\\\\\boxed{\mathsf{v_m=80\:km/h}}\: \: \checkmark$