um automovel percorreu a primeira metade de um trecho ritilineo de extensão total de 400m com velocidade media de 120 km/h.Para que a velocidade media , em todo o trecho , seja de 80 km/h , qual deve ser a velocidade media na segunda metade do trecho ?
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1
A distância percorrida em cada metade do trecho total é
d = 200 m = 0,200 km
de modo que a distância total é
2d = 400 m = 0,400 km.
1ª metade do trecho:
• velocidade média: Vm₁ = 120 km/h;
• deslocamento: d = 0,200 km;
• tempo de duração do percurso: Δt₁.
Pela fórmula da velocidade média, para a 1ª metade do trecho, temos
d
Vm₁ = ———
Δt₁
d
Δt₁ = ———
Vm₁
Substituindo os valores fornecidos,
0,200 km × 5
Δt₁ = ——————
120 km/h × 5
1
Δt₁ = ——— h <—— duração da 1ª metade do percurso.
600
2ª metade do trecho:
• velocidade média: Vm₂ = x (esta é a medida que desejamos encontrar);
• deslocamento: d = 0,200 km;
• tempo de duração do percurso: Δt₂.
Novamente, pela fórmula da velocidade média, para a 2ª metade do trecho, temos
d
Vm₂ = ———
Δt₂
d
Δt₂ = ———
Vm₂
Substituindo os valores fornecidos,
0,200 × 5
Δt₂ = ————
x × 5
1
Δt₂ = ——— <——— duração da 2ª metade do percurso.
5x
Trecho total:
• velocidade média: Vm = 80 km/h;
• deslocamento: 2d = 0,400 km;
• tempo de duração do percurso: Δt = Δt₁ + Δt₂.
Então, temos que
2d
Vm = ———
Δt
2d
Vm = ——————
Δt₁ + Δt₂
Substituindo os valores,
0,400
80 = ——————————
1 1
——— + ———
600 5x
Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por 600x para simplificar,
0,400 · 600x
80 = ————————
x + 120
240x
80 = —————
x + 120
80 · (x + 120) = 240x
80x + 9600 = 240x
240x – 80x = 9600
160x = 9600
9600
x = ————
160
x = 60 km/h <——— esta é a resposta.
—————
Outra forma mais direta de resolver o problema seria usando a média harmônica.
A velocidade média no percurso total é a média harmônica das velocidades em cada trecho. Aqui será uma média harmônica simples, pois cada trecho tem o mesmo comprimento:
2
Vm = ———————— <——— velocidade média no percurso total.
1 1
——— + ——
120 x
Então, devemos ter
2
80 = ————————
1 1
——— + ——
120 x
Multiplicando o numerador e o denominador do lado esquerdo por 120x para simplificar,
240x
80 = —————
x + 120
e caímos exatamente na equação obtida na forma anterior.
⋮
x = 60 km/h <——— novamente, esta é a resposta.
A velocidade média do carro na 2ª metade do trecho deve ser de 60 km/h.
Bons estudos! :-)
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