Question

Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 12% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é de R$ 47.000,00
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é,V(x).
b) Obtenha o valor do automóvel após 1; 5 e 10 anos da compra.
c) Esboce o gráfico de V(x).
d) Qual o percentual de depreciação do valor em 2 anos?

e) Após quanto tempo o valor do carro será R$ 37.000,00?

Answer 1

Boa noite (^ - ^)

Letra A)

Sabemos que, todo ano, o preço inicial de R$47.000,00 se reduz em 12%.

Reduzir em 12% é o mesmo que multiplicar por 88%.

Logo, a razão dessa progressão é 88% (ou 88/100)

$r = 88\% = \frac{88}{100}$

O termo inicial é o preço inicial:

$a_1 = 47.000$

Utilizando a fórmula do Termo Geral da P.G:

$a_n = a_1 \times {q}^{(n - 1)}$

Adicionando as informações:

$a_n = 47.000 \times {( \frac{88}{100} )}^{x}$

Em que X é o número de anos passados.

Colocando como o enunciado pediu:

$V(x) = 47.000 \times {( \frac{88}{100}) }^{x}$

Letra B)

Em 1 ano:

$V(1) = 47.000 \times (\frac{88}{100})^1$

$V(1) = 47.000 \times 0,88$

$V(1) = R\ \: 41369,00$

Em 5 anos:

$V(1) = 47.000 \times (\frac{88}{100})^5$

$V(1) = 47.000 \times 0,5277$

$V(1) = R\ \: 24803,40$

Em 10 anos:

$V(1) = 47.000 \times (\frac{88}{100})^{10}$

$V(1) = 47.000 \times 0,27850$

$V(1) = R\ \: 13089,54$

Letra C)

Gráfico Anexado.

Letra D)

Calculando o valor em 2 anos:

$V(1) = 47.000 \times (\frac{88}{100})^{2}$

$V(8) = 47.000 \times 0,7744$

$V(8) = R\ \:36396,80$

Calculando a taxa de depreciação:

$i = 1 - \frac{36396.80}{47000}$

$i = 1 - 0.7744$

$i = 0,2256$

$i = 22,56\%$

A taxa provavelmente vale 22,56%.

Letra E)

Calculando:

$V(x) = 47.000 \times {( \frac{88}{100}) }^{x}$

$37.000 = 47.000 \times {( \frac{88}{100}) }^{x}$

${( \frac{88}{100}) }^{x} = \frac{37.000}{47.000} = 0,787234$

$(0,88)^{x} = 0,787234$

$x = log_{0,88}(0,787234)$

$x = 1,87 \: anos$

Após aproximadamente 1,87 anos.