Question

Um atleta, num momento de descontração durante os treinamentos, chutou para o alto a bola colocada no chão, a qual foi bater sobre um muro de 3 metros de altura situado à distância de 6 metros do atleta(figura 1). A trajetória percorrida pela bola é dada pela equação y=ax^2+(1-4a)x, com a=/0 (diferente de zero), e está representada na figura, em que y é a altura da bola, dada em metros.
Qual a altura máxima atingida pela bola?

Answer 1

Vamos utilizar o fato de que a bola atinge 3 metros de altura quando está 6 metros distante do atleta, isso significa que:

x = 6
y = 3

Com isso, podemos determinar o valor de "a" substituindo os valores acima na equação dada. Vejamos:

y = ax² + (1 - 4a) * x
3 = a * 6² + (1 - 4a) * 6
3 = 36a + 6 - 24a
3 = 12a + 6
3 - 6 = 12a
-3 = 12a
-3 / 12 = a
a = -1/4

Portanto, "a = -1/4".
Agora, vamos substituir o valor de "a" na equação dada:

y = ax² + (1 - 4a) * x
y = (-1/4) * x² + (1 - 4 * (-1/4)) * x
y = -x²/4 + (1 - (-4/4)) * x
y = -x²/4 + (1 - (-1)) * x
y = -x²/4 + (1 + 1) * x
y = -x²/4 + 2x

Portanto, temos uma equação de 2° grau, onde :

a = -1/4
b = 2
c = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4 * (-1/4) * 0
Δ = 4 - 0
Δ = 4

A altura máxima que a bola atinge, é dada pela coordenada "y" do vértice da parábola. Vamos determinar a coordenada "Yv":

Yv = -Δ/4a
Yv = -(4) / (4 * (-1/4))
Yv = (-4) / (-1)
Yv = 4

Portanto, a coordenada "y" do vértice da porábola vale 4, ou seja, a altura máxima atingida pela bola é de 4 metros.