Question

Um atleta brasileiro, desejando estar preparado para disputar a maratona na olimpíada, fez o seguinte cronograma de treinamentos: o primeiro dia ele correrá 4195m; no segundo segundo dia 6195m, no terceiro dia 8195m, e assim sucessivamente, até alcançar a marca oficial da prova. Sabendo que esta marca é 42195m, analise as seguintes sentenças e, justifique, através de cálculos, cada item:1. Este atleta alcançará esta marca no vigésimo dia de treinamento. 2. No décimo quinto dia, ele correrá 3 0195m.3. No dia em que alcançar o seu objetivo, ou seja, alcançar a marca de 42195m, terá corrido um total de 463 900m.

Answer 1

   Note que a cada dia ele corre 2000 metros a mais do que o dia anterior, isso caracteriza uma progressão aritmética de razão = 2000, ou seja, a cada dia soma-se 2mil metros. Os dias serão os termos desta P.A.

   O termo geral de uma P.A. é dado pela soma de um termo qualquer pela quantidade de vezes em que a razão se repete até o termo desejado.

$a_n=a_m+(n-m)r$

Onde:

$a_n$ ⇒ Quantidade percorrida no dia desejado.
$a_m$ ⇒ Quantidade percorrida em um dia qualquer.
m,n ⇒ Número de dias.
r ⇒ Razão de crescimento da P.A.

   A razão de uma P.A. é dada pela diferença entre entre um termo qualquer e o seu anterior, exemplo:

   Vamos pegar o segundo dia e o primeiro.

$d_2=6195\\ \\d_1=4195$

Fazendo essa diferença temos:

$r=d_2-d_1\\ \\r=6195-4195\\ \\r=2000m$

1° Item:

   Ele deseja saber se a quantidade percorrida no 20° dia é igual ao percurso da maratona 42195m. Farei utilizando o primeiro dia como referência:

$a_{1}=4195$

   Na equação fica:

$a_{20}=a_1+(20-1)r\\ \\a_{20}=4195+(19)2000\\ \\a_{20}=4195+38000\\ \\a_{20}=42195m$

   Note que a  primeira afirmação é verdadeira, no dia 20 $(a_{20})$ o atleta percorreu a mesma quantidade do percurso da prova.

2° Item:

   Aqui ele deseja saber se a distância percorrida no 15° será igual a 30195 m.
   Farei o mesmo procedimento do item anterior e, ainda, vou utilizar dois dias como referência para mostrar que você pode selecionar um dia qualquer.

Com $a_1$


$a_{15}=a_1+(15-1)2000\\ \\a_{15}=4195+(14)2000\\ \\a_{15}=4195+28000\\ \\a_{15}=32195m$

Com $a_3$


$a_{15}=a_3+(15-3)2000\\ \\a_{15}=8195+(12)2000\\ \\a_{15}=8195+24000\\ \\a_{15}=32195m$

   Note que a segunda afirmação está incorreta pois no 15° dia ele correrá 32195 m e não 30195 como foi dito no enunciado.

3° Item:

    Neste item ele deseja saber qual foi o total percorrido pelo atleta até alcançar sua meta, ou seja, qual a distancia total percorrida do primeiro dia ao vigésimo dia.
   Para isso vamos usar a fórmula para soma dos termos de uma P.A.

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Onde 

$S_n$ ⇒ Soma dos n termos da P.A.
$a_1$ ⇒ Primeiro termo.
$a_n$ ⇒ Enésimo termo.
n ⇒ Número de termos.

   Faremos:

$S_{20} = \frac{(4195+42195)20}{2}\\ \\S_{20}=(4195+42195)10\\ \\S_{20}=(46390)10\\ \\S_{20}=463900m$

   Este item também está correto.

Espero que tenha ficado claro.