Question

Um artista plástico foi a uma determinada metalúrgica e solicitou a confecção de uma chapa metálica. Tal chapa é modelada pelas seguintes funções

Apresentando a seguinte forma:

Answer 1

A área da chapa metálica que o artista plástico confeccionará equivale a 16 u.a. Letra c).

As funções que modelam a chapa são:

f(x)= - x² + 3x

g(x) = 2x³ - x² - 5x

E a forma da chapa está no anexo no final da resolução.

As alternativas da questão são:

a)  8 u.a.

b)  12 u.a.

c)  16 u.a.

d)  20 u.a.

e)  25 u.a.

Aqui temos um caso de aplicação de Integrais no cálculo da área entre curvas. O gráfico anexado nos dá uma dica, podemos separar duas regiões, a primeira entre os pontos A e B e a segunda entre B e C.

1ª Região:

Vamos utilizar g(x) - f(x) uma vez que g(x) está "acima" de f(x). Temos também A(-2,-10) e B(0,0).

$A1 = \int\limits^{x_b}_{x_a} {g(x) - f(x)} \, dx = \int\limits^0_{-2} {2x^3 - x^2 - 5x + x^2 - 3x} \, dx = \int\limits^0_{-2} {2x^3 - 8x} \, dx = (2x^4/4 - 8x^2/2)|^0_{-2} = (x^4/2 - 4x^2)|^0_{-2} = (0 - 0 - (-2)^4/2 + 4(-2)^2) = - 8 + 16 = 8 u.a.$

2ª Região:

Vamos utilizar agora f(x) - g(x) visto que temos f(x) "acima" de g(x) nessa região. E teremos também os pontos B(0,0) e C(2,2):

$A2 = \int\limits^{x_c}_{x_b} {f(x) - g(x)} \, dx = \int\limits^2_0 {-x^2 + 3x - 2x^3 + x^2 + 5x} \, dx = \int\limits^2_0 {-2x^3 + 8x} \, dx = (-2x^4/4 + 8x^2/2)|^2_0 = (-x^4/2 + 4x^2)|^2_0 = (- (2)^4/2 + 4(2)^2 + 0 - 0) = - 8 + 16 = 8 u.a$

A área total será a soma da área de cada região. Ou seja:

A = A1 + A2 = 8 + 8 = 16 u.a.

Letra c).

Você pode aprender mais sobre Integração aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19942877