Um artesão pinta ladrilhos em formato de um quadrado ABCD, com um triângulo ABF inscrito em seu interior, sendo F o ponto médio do segmento começar estilo tamanho matemático 14px CD em moldura superior fim do estilo. Nesse triângulo, está inscrito um outro triângulo menor EGH, em que E, G e H são, respectivamente, pontos médios dos segmentos começar estilo tamanho matemático 14px AB em moldura superior fim do estilo, começar estilo tamanho matemático 14px AF em moldura superior fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 14px BF em moldura superior fim do estilo. Durante o processo de pintura, para um determinado modelo, esse artesão escolheu pintar as áreas indicadas pelos triângulos ADF, BCF e EGH.
(SEGUE IMAGEM)
A quantidade de tinta necessária para pintar o triângulo menor (triângulo EGH) é quantas vezes menor que a quantidade de tinta necessária para pintar os dois triângulos maiores (triângulos ADF e BCF)?
Soluções para a tarefa
Resposta:4 vezes
Explicação:
A tinta utilizada para pintar o triângulo EGH será 4 vezes menor que a necessária para os dois triângulos ADF e BCF juntos. Logo, a letra D) é a correta.
Como calcular a área de um triângulo?
Podemos aplicar a fórmula:
Sendo b a base do triângulo e h sua altura.
Como queremos saber a relação entre a quantidade de tinta utilizada para pintar cada região, precisamos então calcular a área de cada um dos triângulos.
Área do triângulo ADF:
Se F é o ponto médio do lado DC, então:
DF = DC/2
Sendo ABCD um quadrado, então:
AD = DC
Logo, temos:
DF = DC/2 = AD/2
Calculando a área:
A1 = (AD*DF)/2 = [AD*(AD/2)]/2 = AD²/4
Área do triângulo BCF:
Ele é simétrico ao triângulo anterior ADF, logo suas áreas serão iguais:
A2 = A1 = AD²/4
Área do triângulo EGH:
Esse será o mais trabalhoso de calcular. Chamemos sua altura de h. Pela figura que anexei podemos ver que h também é a altura dos triângulos AEG e BCH.
Além disso, é possível dividir o lado AB em 4 partes iguais, conforme a figura anexada. Chamaremos cada parte de x. É válida a relação:
4x = AB
x = AB/4
Portanto, já podemos encontrar a base desse triângulo:
GH = 2x = 2*(AB/4) = AB/2
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo numerado por 1 na figura:
AG² = h² + x²
h² = AG² - x² = AG² - (AB/4)² = AG² - AB²/16
Se G é o ponto médio de AF então é válida a relação:
AF = 2AG
AG = AF/2
Substituindo:
h² = (AF/2)² - AB²/16 = AF²/4 - AB²/16
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ADF:
AF² = AD² + DF²
Relembrando que DF = AD/2 (conforme vimos lá no começo) temos:
AF² = AD² + (AD/2)² = AD² + AD²/4
Se ABCD é um quadrado, então AD = AB, logo:
AF² = AB² + AB²/4
Substituindo novamente na expressão da altura h:
h² = (AB² + AB²/4)/4 - AB²/16 = AB²/4 + AB²/16 - AB²/16 = AB²/4
h = AB/2
Portanto, a área valerá:
A3 = GH*h/2 = [(AB/2)*(AB/2)]/2 = AB²/8
Devemos, por fim, relacionar a área de EGH com a soma das áreas de ADF e BCF. Essa soma será:
A1 + A2 = AD²/4 + AD²/4 = AD²/2
Novamente, tomando AD = AB;
A1 + A2 = AB²/2
Relacionando, teremos:
A3/(A1 + A2) = (AB²/8)/(AB²/2) = 2AB²/8AB² = 2/8 = 1/4
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