Question

Um arquiteto e um engenheiro foram contratados para desenvolver um projeto onde haveria apenas uma coluna de sustentação para um objeto triangular com vértices dados por (0, 0), (2, 0) e (0, 2), e uma densidade dada por δ (x , y) = 5 * x +3 * y .
Determine o centro de massa deste objeto sabendo que ele é dado por (x¯,y¯)(x¯,y¯), onde:


x=My/m = ∬χ*δ (x,y) dx dy))/∬ δ (x, y) dx dy

y=Mx/m = ∬y*δ (x,y) dx y))/∬ δ (x,y) dx dy)

Answer 1

A região descrita é formada pelas retas x = 0, y = 0 e x + y = 2.

Utilizando o Tipo II, temos que:

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ 2 - y

Sendo a densidade igual a δ(x,y) = 5x + 3y, então a massa será igual a:

$m = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {5x+3y} \, dxdy$

Logo, resolvendo a integral dupla acima, encontramos o valor da massa:

$m = \frac{32}{3}$

Cálculo de My

$M_y = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {x(5x+3y)} \, dxdy$

$M_y = \frac{26}{3}$

Cálculo de Mx

$M_x = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {y(5x+3y)} \, dxdy$

$M_x = \frac{22}{3}$

Sendo assim, temos que as coordenadas do centro de massa são:

$x = \frac{26}{3} .\frac{3}{32} = \frac{13}{16}$

$y = \frac{22}{3}. \frac{3}{32} = \frac{11}{16}$

Portanto, o centro de massa é igual a:

$c = (\frac{13}{16}, \frac{11}{16})$