Question

Um arqueiro está em uma competição oficial e tem a probabilidade de acertar o alvo de 0,4.Após 5 tiros, qual é a probabilidade dele acertar pelo menos 2 vezes o alvo?Escolha uma:a. 0,78945.b. 0,68256.c. 0,34567.d. 0,31245.e. 0,25789.

Answer 1

Aqui podemos usar a distribuição binomial:

$\bullet\;\;$ experimento aleatório: atirar ao alvo

$\bullet\;\;$ evento sucesso: acertar o alvo (probabilidade $p=0,4$ )

$\bullet\;\;$ evento fracasso: errar o alvo (probabilidade $q=1-p=0,6$ )

$\bullet\;\;$ Quantidade de repetições de experimento: $n=5$

Sendo $x$ o número de vezes que o arqueiro acerta o alvo, queremos calcular

$P(x\ge 2)=1-P(x<2)\\\\ =1-\big[P(x=0)+P(x=1) \big]~~~~~~\mathbf{(i)}$
________________________


Da distribuição binomial, temos

$P(x=k)=\dbinom{n}{k}\,p^k\, q^{n-k}$

Portanto,

$\bullet\;\;P(x=0)=\dbinom{5}{0}\,(0,4)^0\, (0,6)^5\\\\\\ P(x=0)=1\,\cdot 1\cdot (0,6)^5\\\\ P(x=0)=(0,6)^5\\\\\\ \bullet\;\;P(x=1)=\dbinom{5}{1}\,(0,4)^1\, (0,6)^4\\\\\\ P(x=1)=5\,\cdot (0,4)\cdot (0,6)^4$

Substituindo em $\mathbf{(i)}\,,$ obtemos

$P(x\ge 2)=1-\big[(0,6)^5+5\cdot(0,4)\cdot(0,6)^4 \big]\\\\ \boxed{\begin{array}{c}P(x\ge 2)\approx 0,66304 \end{array}}$

Answer 2

Resposta:

P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,66304  ....ou 66,30% (valor aproximado)

Explicação passo-a-passo:

.

=> Sabemos que a probabilidade de acerto é de 0,4 ...isso implica que a probabilidade de errar é de 0,6 ...(de 1 - 0,4 = 0,6)

...Pretende-se saber a probabilidade (P) de o arqueiro acertar PELO MENOS 2 vezes no alvo ...isto implica que pretendemos saber a probabilidade de ele acertar 2 vezes MAIS a probabilidade de ele acertar 3 vezes MAIS a probabilidade de ele acertar 4 vezes MAIS a probabilidade de ele acertar 5 vezes!!

..Por outras palavras SÓ NÃO INTERESSA a probabilidade de ele acertar apenas 1 vez ..ou de ele errar o alvo todas as vezes!!

Assim temos 2 opções de resolução:

1ª Opção:

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

2ª Opção:

..Recorrendo ao conceito de probabilidade complementar (ou conjunto complementar)

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 - [ P(X = 1) + P(X = 0)]

RESOLUÇÃO (1ª Opção):

..note que o arqueiro pode acertar o alvo em várias sequencias possíveis, pelo que a resolução implica uma Binomial, assim:

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

P(2 ≤ X ≤ 5) = [C(5,2).(0,4)².(0,6)³] + [C(5,3).(0,4)³.(0,6)²] + [C(5,4).(0,4)⁴.(0,6)¹] + [C(5,5).(0,4)⁵.(0,6)⁰] 

P(2 ≤ X ≤ 5) = [(10).(0,16).(0,216)] + [(10).(0,064).(0,36)] + [(5).(0,0256).(0,6)] + [(1).(0,01024).(1)] 

P(2 ≤ X ≤ 5) = (0,3456) + (0,2304) + (0,0768) + (0,01024)

P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,66304 ....ou 66,30% (valor aproximado)

RESOLUÇÃO (2ª Opção):

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 - [ P(X = 1) + P(X = 0)]

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 - { [C(5,1).(0,4)¹.(0,6)⁴] + [C(5,0).(0,4)⁰.(0,6)⁵] }

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 - { [(5).(0,4).(0,1296)] + [(1).(1).(0,0,07776)] }

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 - [ (0,2592) + (0,0,07776) ]

P(2 ≤ X ≤ 5) = 1 -  (0,33696)

P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,66304  ....ou 66,30% (valor aproximado)

Espero ter ajudado

NOTA IMPORTANTE:

ESTE É MAIS UM CASO DE GABARITOS ERRADOS ..POR ERRO TIPOGRÁFICO (SE FOREM PUBLICAÇÕES) ....OU POR OPÇÕES ERRADAS (SE FOREM PROVAS DE ENSINO Á DISTANCIA "ONLINE")

AVISO:

PEDE-SE AOS ALUNOS DO ENSINO Á DISTANCIA QUE ..NO LUGAR DE POSTAREM EM COMENTÁRIO QUE A RESOLUÇÃO ESTÁ ERRADA  ..A COPIEM E ENVIEM AOS V/ PROFESSORES CONTESTANDO A PROVA E/OU A QUESTÃO