Question

Um armazém possui certa quantidade de interruptores que controlam o sistema de iluminação de
todo o local. Os interruptores funcionam de forma independente, e cada um deles, ao ser
acionado, liga as lâmpadas de um recinto específico do armazém. Acionando-se pelo menos dois
dos interfuptores, é possível ligar as lâmpadas dos recintos do armazém de 120 maneiras
diferentes.
A quantidade de interruptores que controlam o sistema de iluminação desse armazém é​

Answer 1

Resposta: 7

Explicação passo-a-passo:

1) vc deve observar que existem 2 possibilidades para cada interruptor.(ligado ou desligado)...2^n

2) imaginemos o seguinte:

-se tivermos 1 interruptor ,teremos 2^1possibilidade= 2.

- se tivermos 2 interruptores, teremos 2^2 possibilidades=4.

- se tivermos 3 interruptores ,teremos 2^3 possibilidades=8.

3) seguindo esse raciocínio, se tivermos 7 interruptores , teremos 2^7= 128 possibilidades.

4) dessas 128 possibilidades se vc excluir a possibilidade de todos os interruptores desligados(1 possibilidade) mais pelo menos 1 interruptor aceso (7 possibilidades), chegamos às 120 possibilidades distintas solicitadas no problema. 128-7-1= 120possibilidades.

2^n - n- 1= 120....n = 7 interruptores.

Answer 2

Utilizando combinação simples, temos que, existem 7 interruptores.

Combinação simples

Dado um conjunto S com n objetos distintos, a quantidade de formas de se escolher um subconjunto de S com k elementos é a combinação simples de n objetos escolhidos k em k. Como o resultado é a quantidade de subconjuntos, temos que, para a escolha de uma combinação simples a ordem na qual os elementos foram escolhidos não é importante. A fórmula para calcular a quantidade de combinações simples é:

$C_{n,k} = n!/[k!*(n-k)!]$

Uma das propriedades da fórmula de combinação simples é que a soma da quantidade de subconjuntos de um conjunto com n elementos é $2^n$, ou seja, temos que:

$C_{n,n} + C_{n,n-1} +...+ C_{n,1} + C_{n,0} = 2^n$

Como temos que qualquer combinação com 2 ou mais interruptores ligam todas as 120 luzes, devemos calcular a soma de todas as combinações simples possíveis e retirar a parte referente a combinação com 0 e com 1 interruptor, dessa forma, podemos escrever que:

$C_{n,n} + C_{n,n-1} +...+ C_{n,2} + C_{n,1} + C_{n,0}= 2^n \\120 + C_{n,1} + C_{n,0}= 2^n \\120 + n + 1 = 2^n \\n = 7$

Para mais informações sobre combinação simples, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/4080558