Question

Um arco de circunferência de raio r e comprimento s = πr/2, com a densidade linear de carga λ constante está sobre um plano (xy) e tem o centro no ponto (0;0). Desenhar o arco e deduzir o campo elétrico no ponto (0:0).

Answer 1

Após integração vemos que o campo elétrico na origem é dado por:

$E=\frac{k\lambda\pi}{2r}$

Explicação:

Segue em anexo uma representação do fio.

Como o arco dele é só de πr/2, então isto quer dizer que ele só vai até o ângulo de π/2, por isso somente este pedaço esta contado.

Agora que sabemos o desenho, podemos formular a equação do campo eléctrico:

$E=k\int \frac{dq}{r^2}$

E como q = λ.L, então dq = λ.dL

E como dL é uma variação do arco, então dL = rd∅

Assim ficamos com:

$E=k\int \frac{\lambda r d\theta}{r^2}$

$E=k\lambda \int \frac{d\theta}{r}$

E como r é constante:

$E=\frac{k\lambda}{r} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 d\theta$

$E=\frac{k\lambda}{r} \frac{\pi}{2}$

$E=\frac{k\lambda\pi}{2r}$

Então este é o campo elétrico na origem.

$E=\frac{k\lambda\pi}{2r}$