Question

Um aparelho de som é vendido á vista por R$ 1200,00 ou a prazo com R$ 200,00 de entrada mais 3 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a loja cobra juros compostos á taxa de 3% a.m?

Answer 1

     •  Valor total financiado:  P = 1200 - 200 = R$ 1000,00;

     •  Taxa:  i = 3% ao mês = 0,03 ao mês;

     •  Quantidade de prestações:  n = 3.


Aqui é uma simples série uniforme postecipada de pagamentos. As parcelas têm todas o mesmo valor nominal:

     $\mathsf{pmt=P\cdot \dfrac{(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=1000\cdot \dfrac{(1+0,\!03)^3\cdot 0,\!03}{(1+0,\!03)^3-1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=1000\cdot \dfrac{(1,\!03)^3\cdot 0,\!03}{(1,\!03)^3-1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=1000\cdot \dfrac{1,\!092727\cdot 0,\!03}{1,\!092727-1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=1000\cdot \dfrac{0,\!03278181}{0,\!092727}}\\\\\\ \mathsf{pmt=1000\cdot 0,\!35353}$

     $\mathsf{pmt=R\ ~353,\!53\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Forma alternativa de cálculo (equivalência de capitais):

Podemos imaginar o valor total financiado como valor presente VP de uma aplicação financeira. Essa aplicação é o total composto pelos valores de cada parcela multiplicadas pelas suas respectivas desvalorizações no tempo. O valor presente é a soma das parcelas descapitalizadas:

     $\mathsf{VP=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{pmt}{(1+i)^k}}\\\\\\ \mathsf{1000=\displaystyle\sum_{k=1}^3\dfrac{pmt}{(1+0,\!03)^k}}\\\\\\ \mathsf{1000=\displaystyle\sum_{k=1}^3\dfrac{pmt}{(1,\!03)^k}}\\\\\\ \mathsf{1000=\dfrac{pmt}{(1,\!03)^1}+\dfrac{pmt}{(1,\!03)^2}+\dfrac{pmt}{(1,\!03)^3}}\\\\\\ \mathsf{1000=pmt\cdot \left[\dfrac{1}{(1,\!03)^1}+\dfrac{1}{(1,\!03)^2}+\dfrac{1}{(1,\!03)^3}\right]}$


Isolando o valor da prestação mensal:

     $\mathsf{pmt=\dfrac{1000}{\frac{1}{(1,\!03)^1}+\frac{1}{(1,\!03)^2}+\frac{1}{(1,\!03)^3}}}\\\\\\ \mathsf{pmt=\dfrac{1000\cdot (1,\!03)^3}{(1,\!03)^2+(1,\!03)+1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=\dfrac{1000\cdot 1,\!092727}{1,\!0609+1,\!03+1}}\\\\\\ \mathsf{pmt=\dfrac{1092,\!727}{3,\!0909}}$

     $\mathsf{pmt=R\ ~353,\!53\quad\longleftarrow\quad novamente,~esta~\acute{e}~a~resposta.}$


O valor de cada prestação é R$ 353,53.


Bons estudos! :-)