Um aluno dispõe de quatro folhas retangulares, todas de dimensões 10 cm por 23
cm, para recortar os polígonos que serão utilizados como faces de uma pirâmide
quadrangular regular. De uma dessas folhas, ele recortou um quadrado de área
máxima e, em seguida, uma das faces triangulares do restante da folha, também
com área máxima. As demais faces laterais foram recortadas das outras três folhas
disponíveis. Em seguida montou a pirâmide fixando esses polígonos com fita
adesiva sem afetar a superfície dos polígonos recortados.
a) Calcule o volume, em centímetros cúbicos, dessa pirâmide.
b) Determine a medida da área, em centímetros quadrados, do papel que
sobrou das folhas utilizadas após os recortes.
Soluções para a tarefa
(a) O volume é 400 cm³.
(b) A área restante é 300 cm².
Seguindo os passos descritos no problema,
- de uma das folhas ele recortou um quadrado de lado 10 x 10. Esse é o quadrado de área máxima, uma vez que a folha tem dimensões 10 x 23 cm;
- o triângulo para a face lateral tem 10 cm de base e 13 de altura. A justificativa para tal é que a base do triângulo deve ser de mesma medida que o lado do quadrado e a altura o restante da folha (23cm - 10cm, ver anexo);
- as demais faces triangulares, obviamente, tem mesma dimensão.
Assim sendo,
(a) O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela sua altura. A altura da pirâmide, por sua vez, deve ser calculada. Observe que a altura do triângulo (face lateral) é a apótema dessa pirâmide (ver anexo). Assim:
apótema² = altura² + (metade do lado do quadrado)²
13² = altura² + 5²
169 = altura² + 25
altura² = 144
altura = 12 cm
Calculando, agora, o volume:
V = 1/3 * 10² * 12 = 400 cm³
(b) A área restante é a diferença entre a área total das 4 folhas e a área total da pirâmide. Assim:
Área das 4 folhas: 4 * (10 * 23) = 920 cm²
Área total da pirâmide = Área da base + Área lateral
= 100 + 4 * (10 * 13)
= 620 cm²
Área restante: 920 cm² - 620 cm² = 300 cm²
Até mais!
