Um aluno ao estudar sobre conjunto quociente encontrou a seguinte expressão:
0 ̅={x ∈ Z∶xR0}={x ∈ Z∶x-0 é multiplo de 5}
= {x ∈ Z∶x=5k,k ∈ Z}={5k:k∈ Z}
Com essa informação, ele fez as seguintes afirmações:
I. 1 ̅= 2 ̅= 3 ̅= 4 ̅
II. 1 ̅= {5k+1:k∈ Z},
III. 1 ̅ ∪2 ̅ ∪3 ̅∪4 ̅= Z
É correto o que se afirma apenas em:
Escolha uma opção:
a. I, II e III.
b. I e III apenas.
c. I apenas.
d. III apenas.
e. II apenas.
Soluções para a tarefa
Analisando as afirmações sobre o conjunto quociente, temos que a única verdadeira é a afirmação II, alternativa e.
Conjunto quociente
Dada uma relação de equivalência sobre os elementos de um conjunto S, temos que, o conjunto quociente é o conjunto formado por todas as classes de equivalência.
Nesse caso, temos a relação de equivalência do resto da divisão por 5, ou seja, dois números inteiros pertencem a mesma classe de equivalência se, e somente se, o resto da divisão de ambos por 5 produz o mesmo resto.
Afirmação I
A classe do 1 é diferente das classes do 2, do 3 e do 4, pois, cada número inteiro possui apenas um resto possível entre 0, 1, 2, 3 e 4 para a divisão por 5. Assim, temos que a afirmação é falsa.
Afirmação II
Os números inteiros que produzem resto 1 quando divididos por 5 são escritos na forma 5k + 1, logo, a afirmação é verdadeira.
Afirmação III
Para obtermos o conjunto dos inteiros precisamos da união das classes de equivalência do 1, do 2, do 3, do 4 e do 0, pois esses são os possíveis restos da divisão por 5. Dessa forma, como a classe do 0 não foi incluída na união, temos que, a afirmação é falsa.
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