Question

Um agricultor tem arame suficiente para construir 120
m de cerca, com os quais pretende montar uma horta
retangular de tamanho a ser decidido. Qual é a área máxima
que a horta pode ter se apenas três dos seus lados forem
cercados e todo o arame disponível for utilizado?

Answer 1

A área máxima  que a horta pode ter será 1800 m².

Os três lados da horta retangular serão:

x e (120-2x) e x

E essa área será dada pelo produto do lado "x" com o lado "120-2x".

A = x.(120-2x)

A = 120.x - 2x²

A área é máxima quando a derivada da função da área, isto é, A'(x), vale 0. Lembre-se de que não é necessário estudar o sinal da derivada, pois a concavidade da parábola é para baixo, o que nos leva a um ponto de máximo no gráfico da área.

A'(x) = 120 - 4x

0 = 120 - 4x

120 = 4x

x = 30 metros   [É o maior valor possível para o lado x]

A área máxima ficará:

A(máx) = 120.30 - 2.30²

A(máx) = 3600 - 1800

A(máx) = 1800 m²

Então, para atingir esse valor de área, o agricultor terá de usar 30 metros nos dois menores lados e 60 metros no maior lado.