Question

um agricultor que dispõe de 60 metros de tela deseja cercar uma área retangular aproveitando-se de dois trechos de muro tem sendo um deles com 12 m de comprimento e o outro com comprimento suficiente conforme a figura abaixo

sabendo que ele pretende usar exatamente ao 60 m de tela pode-se afirmar que a expressão que representa a área cercada Y em função da dimensão x indicada na figura e o valor da área máxima que se pode obter as condições são respectivamente iguais a

a) y = -2x² + 24x + 576 e 648 m²
b) y = -2x² - 24x + 476 e 548 m²
c) y = -x² + 36x + 576 e 900 m²
d) y = -2x² + 12x + 436 e 454 m²
e) y = -x² + 12x + 288 e 288 m²​

Answer 1

Alternativa E: y = -x² + 12x + 288 e 288 m²​

Inicialmente, vamos determinar o perímetro do muro onde deve ser colocada a cerca. Nesse perímetro, temos um lado parcial X, um lado inteiro Y e um lado inteiro, referente a X+12. No total, esse comprimento deve ser igual a 60. Logo:

$60=x+y+x+12\\ \\ 2x+y=48$

Agora, vamos determinar a expressão para o cálculo da área do terreno. Como temos um terreno retangular, vamos multiplicar um lado por outro. Então:

$A=x\times y$

Nesse momento, vamos voltar a primeira equação e isolar a incógnita Y na expressão para substituir na equação da área.

$y=48-2x\\ \\ A=x(48-2x)\\ \\ A=48x-2x^2$

Podemos determinar o valor de X que permite ter uma área máxima. Para isso, vamos derivar a expressão da área e igualar a zero.

$A'=48-4x=0\\ \\ 4x=48\\ \\ x=12 \ m$

Com esse valor de X, podemos determinar a área máxima, voltando a expressão da área. Portanto:

$A_{max}=12(48-2\times 12)=288 \ m^2$

Por fim, vamos determinar a expressão da área da figura em função de Y. Com isso, temos a seguinte expressão:

$y=-x^2+12x+288$

Answer 2

Para achar a função da área, vamos fazer base x altura.

Sendo um lado Y e o outro X+12

Então, A = Y(12+X)

Agora sabemos que vão ser usados 60m de tela para cobrir as partes que não tem parede...

Logo, 60 = 12+X+Y+X

Y = 48-2X

Substitui Y na equação da área...

A = (48-2X)(12+X) = 576+48X-24X-2X²

A= -2X²-24X+576

Como essa função é quadrática e decrescente, a área máxima é indicada no Y do vértice, ou seja, Yv = -∆/4a

Yv = - (576(-4.(-2).576)/ 4.(-2)

Yv = 648m²

Letra A