Question

Um agricultor, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Ao aproximar-se 30 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45°. Qual a altura da torre, em
metros? *​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Observe a figura

Primeiro temos a pessoa a x metros da torre de altura h.

Isso forma um triangulo retângulo cujo ângulo oposto a torre →45º

Temos:

$tg~45^{\circ}={h\over x}\\ \\ 1={h\over x}\\ \\\fbox{ h=x }$

Depois quando a pessoa esta a uma distancia x + 40 da torre ela forma um novo triângulo retângulo com um ângulo de 30º

$tg~30^{\circ}={h\over30+x}$

Substituir h = x

${\sqrt{3} \over3}={x\over30+x}\\ \\ 3x=\sqrt{3} .(30+x)\\ \\ 3x=30\sqrt{3} +x\sqrt{3} \\ \\ 3x-x\sqrt{3} =30\sqrt{3} \\ \\ x(3-\sqrt{3} )=30\sqrt{3} \\ \\ x={30\sqrt{3} \over3-\sqrt{3} }\\ \\ racionalizando\\ \\ x={30\sqrt{3}~~ (3+\sqrt{3} )\over6}\\ \\ x={5\sqrt{3} ~(3+\sqrt{3} )$

$x=15\sqrt{3} +5.\sqrt{9} \\ \\ x=15\sqrt{3} +15\\ \\ x=15(\sqrt{3} +1)$

se √3 = 1,73

x= 15 . ( 1,73 + 1 )

x= 15 . ( 2,73)

x = 40,95m

Como pede o valor da altura que é → h = x

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altura = 40,95m