Question

Um agricultor emprega x quilos de fertilizante para produzir p(x)=100+4x-x^2/50 sacas de feijão. Qual é a quantidade de fertilizante que otimiza a produção?

A-Será necessário o uso de 75 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão.


B-Será necessário o uso de 94 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão.


C- Será necessário o uso de 135 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão.


D-Será necessário o uso de 200 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão.


E- Será necessário o uso de 100 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mineli, que a resolução é simples.
Tem-se que um agricultor emprega "x" quilos de fertilizante para produzir p(x) = 100 + 4x - (x²/50) sacas de feijão. Qual é a quantidade de fertilizante que otimiza a produção?

Veja: deveremos encontrar qual é o valor do "x" do vértice do gráfico (parábola) da função acima. Vamos apenas colocar a função dada na sua ordem natural, que seria esta:

p(x) = (-x²/50) + 4x + 100

Note: como a função acima tem o seu termo "a" negativo (o termo "a" de funções do 2º grau é o coeficiente de x²), então o seu gráfico (parábola) terá a concavidade voltada pra baixo e, como tal, terá um ponto de máximo.
Portanto, deveremos encontrar qual é a quantidade "x" de fertilizantes que otimiza a produção, produção esta que é dada pela função que vimos acima [p(x) = (-x²/50) + 4x + 100] . E a quantidade "x" de fertilizantes será dada pelo "x" do vértice da parábola (xv), cuja fórmula é esta:

xv = -b/2a

Note que a função da sua questão tem os seguintes coeficientes:

a = -1/50 ----- (é o coeficiente de x²)
b = 4 ---- (é o coeficiente de x)
c = 100 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições para encontrar qual é o "x" do vértice, teremos [ xv = -b/2a], teremos:

xv = - 4/2*(-1/50)
xv = - 4/(-2/50) ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então:
xv = 4/(2/50) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

xv = (4/1)*(50/2)
xv = 4*50/1*2
xv = 200/2
xv = 100 <--- Esta é a resposta. Opção "E". Ou seja: será necessário o uso de 100 quilos de fertilizantes para otimizar a produção de feijão. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.