Question

Um agricultor deseja cercar sua horta retangular com uma tela de alambrado. Tendo comprado 500 metros de tela, ele deseja saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar para que a área seja a maior possível, assim as dimensões do terreno serão:

Answer 1

Suponhamos um retângulo com lados x e y. 
O perímetro será dado por 2x + 2y = 500. 
Queremos que a área A = x.y seja máxima. 
Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, temos a seguinte função para a área:
A = x.(500-2x)/2 = -(2x^2)/2 + 500x/2 = -x^2 + 250x
É uma função do segundo grau cuja parábola tem concavidade voltada para baixo (a<0). Logo, tem ponto de máximo. Esse ponto me fornece a área máxima. 
Dois jeitos de resolver: posso derivar e igualar a zero (se estiver na faculdade), ou posso encontrar o valor de x desse ponto, dado por -b/2a
Derivando: -2x + 250 = 0, ou seja, x = 125
Pelo segundo método x = -b/2a = -250/(-2) = 125
Portanto o lado x para a área máxima vale 125 m. Substituindo na primeira equação verificamos que y também é 125 m. A conclusão é que a maior área retangular que pode ser delimitada por um perímetro é um quadrado (x=y). 
Resposta: as dimensões do terreno serão 125m x 125m.