Question

ULTILIZANDO O METODO DE EQUAÇÕES ORDINARIAS HOMOGENEAS RESOLVA A SEQUINTE EQUACAO Y'=X2+Y2/XY

Answer 1

Primeiramente, vamos verificar se a equação dada é homogênea. Seja $f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$. Calculando $f(\lambda x,\lambda y),~\lambda\neq0$:

$f(\lambda x,\lambda y)=\dfrac{(\lambda x)^2+(\lambda y)^2}{(\lambda x)\cdot(\lambda y)}\\\\ f(\lambda x,\lambda y)=\dfrac{\lambda^2x^2+\lambda^2y^2}{\lambda^2xy}\\\\ f(\lambda x,\lambda y)=\dfrac{\lambda^2(x^2+y^2)}{\lambda^2xy}\\\\ f(\lambda x,\lambda y)=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\\\\ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$

Desse modo, temos que $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$. Portanto, a EDO dada é homogênea. Dessa maneira, vamos fazer uma mudança de variável: $v=\dfrac{y}{x}\Longrightarrow y=vx$, onde v é uma nova função. Assim, $y'=v'x+v$. Substituindo na equação dada:

$y'=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\\\\ v'x+v=\dfrac{x^2+(vx)^2}{x\cdot vx}\\\\ v'x+v=\dffac{x^2+v^2x^2}{vx^2}\\\\ v'x+v=\dfrac{1+v^2}{v}\\\\ xvv'+v^2=1+v^2\\\\ xvv'=1\\\\ xv\cdot\dfrac{dv}{dx}=1\\\\ xvdv=dx\\\\ v\,dv=\dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle\int v\,dv=\int\dfrac{dx}{x}\\\\ \dfrac{v^2}{2}=\ln|x|+C_1\\\\ v^2=2\ln|x|+2C_1\\\\ v^2=\ln(|x|^2)+2C_1$

Sabemos que $|x|^2=x^2$, pelo fato de x ser um número real. Usando isso, substituindo a expressão original para v e considerando uma nova constante $C=2C_1$:

$v^2=\ln(|x|^2)+2C_1\\\\ v^2=\ln(x^2)+C\\\\ \left(\dfrac{y}{x}\right)^2=\ln(x^2)+C\\\\ \boxed{y^2=x^2\ln(x^2)+Cx^2}$

Answer 2

Resposta:

ln y/x = ln |x| + c resposta pelo o ava

Explicação passo-a-passo: