Question

Ultilizando as propiedades das potências, reduza a uma só potência e calcule.

a) $\frac{8^3\cdot 4^{-4}\cdot 64}{\:32^{-2}\cdot 128^2}$

b) $\frac{9^{2\cdot 27^3}}{243^2}$

c) $\frac{81^{-5}}{9^{-11}}$

Answer 1

Ultilizando as propiedades das potências, reduza a uma só potência e calcule.

DEIXAR as BASES  IGUAIS
  
  8³.4⁻⁴.64
-----------------    OBSERVE ( 8 = 2x2x2 = 2³)
32⁻².128²                             (4 = 2x2 = 2²)
                                            (64 = 2x2x2x2x2x2 = 2⁶)
                                             (32 = 2x2x2x2x2 = 2⁵)
                                             (128 = 2x2x2x2x2x2x2  = 2⁷)


8³.4⁻⁴.64
-----------------    fica
32⁻².128² 

(2³)³.(2²)⁻⁴.(2⁶)   observe
--------------------
(2⁵)⁻².(2⁷)

2³ˣ³.2²ˣ(⁻⁴).2⁶
--------------------
2⁵ˣ(⁻²).2⁷

2⁹.2⁻⁸.2⁶
----------------   multiplicação SOMA expoentes
2⁻¹⁰.2⁷

2⁹⁻⁸⁺⁶
---------
2⁻¹⁰⁺⁷

2⁹⁻²
------
2⁻³

2⁶
----   mesmo  que ( DIVISÃO) 
2⁻³

2⁶ : 2⁻³  DIVISÃO  subtrai o expoentes

2⁶⁻(⁻³)
2⁶⁺³      = 2⁹  ( resposta)


9².27³                        ( 9 = 3x3 = 3²)
--------                        ( 27 = 3x3x3 = 3³)
243²                           (243 = 3x3x3x3x3 = 3⁵)

(3²)².(3³)³
--------------
(3⁵)²

3²ˣ².3³ˣ³
-------------
   3⁵ˣ²

3⁴.3⁹     ( instrução acima) MULTIUPLICAÇÃO soma expoente
------
3¹⁰

3⁴⁺⁹
------
3¹⁰

3¹³
----   mesmo que divisão    ( FRAÇÃO = divisão)
3¹⁰

3¹³ : 3¹⁰  ( divisão SUBTRAI expoente)
3¹³⁻¹⁰  = 3³  ( resposta)

81⁻⁵                 ( 81 = 3x3x3x3 = 3⁴)
------
9⁻¹¹                  (9 = 3x3 = 3²)

(3⁴)⁻⁵
--------
(3²)⁻¹¹

3⁴ˣ(⁻⁵)
-----------
3²ˣ(⁻¹¹)

3⁻²⁰
--------   mesmo que divisão
3⁻²²

3⁻²⁰ : 3⁻²²   DIVISÃO subtrai expoente

3⁻²⁰ ⁻(⁻²²)
3⁻²⁰ ⁺²²   = 3²  ( RESPOSTA)
 

exemplo ACIMA  quando NÃO SABEMOS o número FATORA

64| 2                    128| 2
32| 2                      64| 2
16| 2                      32| 2
  8| 2                      16| 2
  4| 2                        8| 2
  2| 2                        4| 2
  1/                            2|2
= 2.2.2.2.2.2             1/
 = 2⁶                          = 2.2.2.2.2.2.2
                                  = 2⁷

ASSIM com OS DEMAIS 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Marcelo, que a resolução é simples.
Tem-se as seguintes expressões, que vamos chamá-las, cada uma, de um certo "y", apenas pra deixá-las igualadas a alguma coisa:

a)

y = (8³ * 4⁻⁴ * 64) / (32⁻² * 128²)

Agora veja que: 8 = 2³. 4 = 2²;  64 = 2⁶; 32 = 2⁵ e 128 = 2⁷. Assim, substituindo, teremos:

y = [(2³)³ * (2²)⁻⁴ * 2⁶] / [(2⁵)⁻² * (2⁷)²] ---- desenvolvendo, teremos:
y = [2³*³ * 2²*⁽⁻⁴⁾ * 2⁶] / [2⁵*⁽⁻²⁾ * 2⁷*²]
y = [2⁹ * 2⁻⁸ * 2⁶] / [2⁻¹⁰ * 2¹⁴] --- veja que tanto no numerador como no denominador, temos multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Então:

y = [2⁹⁺⁽⁻⁸⁾⁺⁶] / [2⁻¹⁰⁺¹⁴] ---- desenvolvendo os expoentes, teremos:
y = [2⁹⁻⁸⁺⁶] / [2⁴] ----- continuando o desenvolvimento dos expoentes, temos:
y = [2⁷] / [2⁴]

Veja que agora ficamos com uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então:

y = 2⁷⁻⁴ ----- continuando, teremos:
y = 2³ <--- Esta é a resposta para o item "a".

 
b)

y = (9² * 27³) / (243²) ---- veja que 9 = 3²; 27 = 3³; e 243 = 3⁵. Assim, substituindo, teremos:

y = [(3²)² * (3³)³] / [(3⁵)² ----- desenvolvendo, teremos:
y = [3²*² * 3³*³] / [3⁵*²] ---- continuando o desenvolvimento, temos:
y = [3⁴ * 3⁹] / [3¹⁰] ---- veja que no numerador temos multiplicação de potências da mesma base, cuja regra você já sabe como é. Logo:

y = [3⁴⁺⁹] / [3¹⁰]
y = [3¹³] / [3¹⁰] ---- agora temos divisão de potências da mesma base, cuja regra você também já sabe como é. Logo:

y = 3¹³⁻¹⁰
y = 3³ <--- Esta é a resposta para o item "b".


c)

y = 81⁻⁵ / 9⁻¹¹ ----- veja que 81 = 3⁴; e 9 = 3². Assim:
y = [(3⁴)⁻⁵] / [(3²)⁻¹¹] ---- desenvolvendo, teremos:
y = [3⁴*⁽⁻⁵⁾] / [3²*⁽⁻¹¹⁾] ---- continuando, temos:
y = [3⁻²⁰] / [3⁻²²] ---- agora temos divisão de potências da mesma base, cuja regra você já sabe como é. Logo:

y = 3⁻²⁰⁻⁽⁻²²⁾
y = 3⁻²⁰⁺²²
y = 3² <--- Esta é a resposta para o item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.