Question

(UFVJM - 2019) - Os gráficos da função logarítmica $\boxed{\bf y = a \cdot ln(bx)}$ e da função exponencial $\boxed{\bf y = \dfrac{e^{4x} }{2} }$ são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Com base no exposto, é correto afirmar que o valor de a + b é igual a:

A) $\bf \dfrac{3}{4}$

B) $\bf \dfrac{9}{4}$

C) $\bf \dfrac{9}{2}$

D) 8

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Função Inversa, concluímos que o valor de  a + b  é igual a 9/4 (B).

☛     Se os gráficos das duas funções dadas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares ( a curva  $y=x$ ), então uma é a função inversa da outra.

➜     Vamos encontrar a inversa da segunda função. Primeiramente isolamos o x.

$\begin{array}{l}\displaystyle y=\frac{e^{4x}}{2} \Longrightarrow 2y=e^{4x} \Longrightarrow \\\\\Longrightarrow \ln( 2y) =\ln e^{4x} =4x\end{array}$

♦︎     Aqui usamos as propriedades  $\log_{b} a^{c} =c\log_{b} a$  e  $\log_{a} a =1$ .

Finalmente temos  $x=\frac{1}{4}\ln( 2y)$ . Agora trocamos y por x, e a inversa da segunda função é, portanto,

$\large\boxed{f^{-1}(x) =y=\frac{1}{4}\ln( 2x)}$

➜     Comparando com a primeira função, percebemos que  $a=\frac{1}{4}$  e  $b=2$ . E, assim,  $\displaystyle a+b=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$

∴     O valor de  a + b  é 9/4, o que consta na alternativa B   ✍️

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