Question

(UFVJM - 2016) - Durante uma aula de Cálculo para os cursos de Engenharia, o professor se deparou com a expressão

$\bf \dfrac{x ln (2x) - x ln(x)}{ln (8)}$

Muitos alunos tiveram dúvidas e o professor deu a dica: “vocês devem usar as propriedades de logaritmo para simplificar essa expressão”.

Ao simplificar essa expressão, o resultado correto, é:

A) $\bf \dfrac{x}{ln (8)}$

B) $\bf \dfrac{2x}{ln (2)}$

C) $\bf \dfrac{x}{2}$

D) $\bf \dfrac{x}{3}$

Answer 1

Alternativa correta: Alternativa D.

O primeiro passo será separar o In(2x) em dois In, no caso In(2) + In(x), Usando a propriedade In(a • b) = In(a) + In(b).

$\bf \dfrac{x ln (2x) - x ln(x)}{ln (8)} \\ \\ \\ \bf \dfrac{x \big( ln(2) + ln(x) \big) - x \cdot ln(x) }{ ln(8) }$

Após separarmos o In(2) aplicando a propriedade In(a • b) = In(a) + In(b), iremos fatorar o 8 com o menor número primo (2).

8|2

4|2

2|2

1

Vendo que o 2 se repete 3 vezes, transfomaremos essa fatoração em exponencial que ficará 2³.

$\bf \dfrac{x \big( ln(2) + ln(x) \big) - x \cdot ln(x) }{ ln(8) } \\ \\ \\ \bf \dfrac{x \big( ln(2) + ln(x) \big) - x \cdot ln(x) }{ ln(2^{3} ) }$

Após aplicarmos o 2³ da fatoração do 8, iremos aplicar a distributiva do x(In(2) + In(x)).

$\bf \dfrac{x \big( ln(2) + ln(x) \big) - x \cdot ln(x) }{ ln(2^{3} ) } \\ \\ \\ \bf \dfrac{ ln(2)x + x \cdot ln(x) - x \cdot ln(x) }{ ln(2^{3} ) }$

Agora aplicaremos outra propriedade utilizada para remover o expoente do denominador, a propriedade$\sf ln(x^{y} ) = y ln(x)$. Então nosso novo denominador será 3In(2).

$\bf \dfrac{x \big( ln(2) + ln(x) \big) - x \cdot ln(x) }{ ln(2^{3} ) } \\ \\ \\ \bf \dfrac{ ln(2)x + x \cdot ln(x) - x \cdot ln(x) }{3 ln(2 ) }$

Após isso iremos anular os opostos no caso + x • In(x) - x • In(x).

$\bf \dfrac{ ln(2)x \red{\cancel{ + x \cdot ln(x) - x \cdot ln(x)} }}{3 ln(2 ) } \\ \\ \\ \bf \dfrac{ ln(2)x }{3 ln(2) }$

Agora basta anular os 2 fatores similares por se tratar de uma divisão (In(2)).

$\bf \dfrac{ \red{ \cancel{ln(2)}}x }{3 \red{\cancel{ ln(2)}} } \\ \\ \\ \bf \dfrac{x}{3}$

Resposta:

• Alternativa D) X/3

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