Question

(UFTM-MG) 0 resto da divisão do polinômio P(x) = x^3 + ax + b por x + 2 é igual ao resto da divisão de P(x) por x - 2, em que a e b são constantes reais. O valor de a é

a) -4
b) -2
c) 0
d) 3
e) 5

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

x + 2 = 0 ⇒  x = -2

R = P(-2)

x - 2 = 0 ⇒ P = 2

Teorema do resto ( 3° ano ensino médio)

(-2)³ + a(-2) + b = 2³ + a .2 + b

-8 - 2a + b = 8 + 2a + b

-2a + b - 2a - b = 8 + 8

- 4a = 16

4a = -16

a = -4

Letra A

Answer 2

Vamos começar determinando o resto dessas duas divisões.

Devemos lembrar que a divisão polinomial deve ser feita até que o resto da divisão tenha grau inferior ao grau do polinômio divisor que, neste, caso é de 1° grau.

P(x) ÷ (x+2):

$\left\begin{array}{cccl}&~x\!\!\!\backslash^3+ax+b&~~&\underline{|~x+2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~x\!\!\!\backslash^3+2x^2~~~~}&&~\,x^2\\&-2x^2+ax+b&&\end{array}\right\\\\\\\\\left\begin{array}{cccl}&~-2x\!\!\!\!\!\backslash^2+ax+b&~~&\underline{|~x+2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~-2x\!\!\!\!\!\backslash^2-4x~~~~}&&~\,x^2-2x\\&4x+ax+b&&\end{array}\right$

$\left\begin{array}{cccl}&~4x\!\!\!\!\!\backslash+ax\!\!\!\!\!\backslash+b&~~&\underline{|~x+2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~4x\!\!\!\!\!\backslash+ax\!\!\!\!\!\backslash+8+2a~~~~}&&~\,x^2-2x+(4+a)\\&\underbrace{-2a+b-8}_{RESTO}&&\end{array}\right$

P(x) ÷ (x-2):

$\left\begin{array}{cccl}&~x\!\!\!\backslash^3+ax+b&~~&\underline{|~x-2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~x\!\!\!\backslash^3-2x^2~~~~}&&~\,x^2\\&2x^2+ax+b&&\end{array}\right\\\\\\\\\left\begin{array}{cccl}&~2x\!\!\!\!\!\backslash^2+ax+b&~~&\underline{|~x-2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~2x\!\!\!\!\!\backslash^2-4x~~~~}&&~\,x^2+2x\\&4x+ax+b&&\end{array}\right$

$\left\begin{array}{cccl}&~4x\!\!\!\!\!\backslash+ax\!\!\!\!\!\backslash+b&~~&\underline{|~x-2~~~~~~~~~~~~~~~~}\\-&\underline{~~~~4x\!\!\!\!\!\backslash+ax\!\!\!\!\!\backslash-8-2a~~~~}&&~\,x^2+2x+(4+a)\\&\underbrace{2a+b+8}_{RESTO}&&\end{array}\right$

Como os dois restos, segundo o texto, são iguais, temos:

$-2a+b-8~=~2a+b+8\\\\\\-2a+b-2a-b~=~8+8\\\\\\-4a~=~16\\\\\\a~=~\frac{16}{-4}\\\\\\\boxed{a~=~-4}$

Resposta: Letra (A)