Question

(UFT-TO) Em uma aula de matemática, o professor fez uma demonstração prática de como o nível de água de um recipiente sobe ao introduzir um objeto em seu interior. O professor utilizou um recipiente que tinha o formato do tronco de cone reto e imergiu totalmente um cubo maciço neste recipiente. Esta demonstração está representada nas figuras a seguir. Durante a demonstração verificou-se que o volume do objeto é 3/7 do volume da água já existente no recipiente. Tomando por base a demonstração prática realizada pelo professor de matemática, conclui-se que aresta do objeto introduzido no recipiente é ( considere pi =3)

Answer 1

Olá.

 

Essa pergunta está incompleta, pois faltou a imagem e as alternativas. A imagem adicionei em anexo, enquanto as alternativas são essas:

$\mathsf{a)~3~cm}\\\\ \mathsf{b)~9~cm}\\\\ \mathsf{c)~\sqrt[3]{9}~cm}\\\\ \boxed{\mathsf{d)~10\sqrt[3]{9}~cm}}\\\\ \mathsf{e)~100\sqrt[3]{9}~cm}$

 

-----

 

Temos uma questão de geometria plana.

 

Para responder essa questão, usaremos a fórmula do volume do tronco de cone e o volume de um cubo. São elas:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{\pi\cdot h}{3}[R^2+Rr+r^2]}\\\\\mathsf{V_{\square}=l^3}\end{array}}}$

 

Onde:

π, pi, no caso, foi dado pelo enunciado como 3;

h: altura do cone, no caso, 30;

R, no caso, 40 ÷ 2:

r: raio da base menor, no caso, 20 ÷ 2;

l: lado, aresta e altura do cubo, que no caso, queremos descobrir.

(Obs.: todas as unidades estão em variações de cm)

O raio de uma circunferência qualquer é sempre igual a metade de seu diâmetro.

 

Substituindo valores na fórmula do volume do tronco de cone, teremos:

$\mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{\pi\cdot h}{3}[R^2+Rr+r^2]}\\\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{3\cdot30}{3}\left[\left(\dfrac{40}{2}\right)^2+\dfrac{40}{2}\cdot\dfrac{20}{2}+\left(\dfrac{20}{2}\right)^2\right]}\\\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{90}{3}\left[\left(20\right)^2+20\cdot10+\left(10\right)^2\right]}\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=30\left[400+200+100\right]}\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=30\left[600+100\right]}\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=30\left[700\right]}\\\\ \boxed{\mathsf{V_{\triangle}=21.000\right]}}$

 

Foi-nos dado que o volume do cubo é igual a 3 / 7 do volume desse tronco de cone. Com isso, teremos:

$\mathsf{V_{\square}=\dfrac{3}{7}\cdot21.000}\\\\\\\mathsf{V_{\square}=\dfrac{3\cdot21.000}{7}}\\\\\\\mathsf{V_{\square}=\dfrac{63.000}{7}}\\\\\\\boxed{\mathsf{V_{\square}=9.000}}$

 

No caso do enunciado, queremos saber quanto mede a aresta. Para isso, podemos usar a fórmula demonstrada mais acima. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{V_{\square}=l^3}\\\\\mathsf{9.000=l^3}\\\\\mathsf{\sqrt[3]{\mathsf{9.000}}=l}$

 

Fatorando o 9.000, teremos:

$\begin{array}{l|r}9000&2\\4500&2\\2250&2\\1125&3\\375&3\\125&5\\25&5\\5&5\\1\end{array}$

 

Voltando para o cálculo, teremos:

$\mathsf{\sqrt[3]{\mathsf{9.000}}=l}\\\\ \mathsf{\sqrt[3]{\mathsf{2^3\cdot3^2\cdot5^3}}=l}\\\\ \mathsf{2\cdot5\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}=l}\\\\ \boxed{\mathsf{10\sqrt[3]{\mathsf{9}}=l}}$

 

Com isso, temos que a resposta correta está na alternativa D.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.