Question

(uft-to) considere a equação log2 x * log2 x - 3log2 x =0, que x>0 no conjunto dos numeros reais. a soma dos valores de x que satisfazem a equação é: a) 0 b)2 c)8 d)9 e)2/3 a resposta é a 9 mas eu gostaria de saber pq.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~9}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de logaritmos e de equações quadráticas incompletas.

Observemos a equação: $\log_2(x)\cdot\log_2(x)-3\log_2(x)=0$, tal que $x\in\mathbb{R}$ e $x>0$.

Podemos fazer a substituição $u=\log_2(x)$, ficando com

$u^2-3u=0$

Fatoramos $u$

$u(u-3)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero, logo:

$u=0$ ou $u-3=0$

Somando 3 em ambos os lados da segunda equação

$u=3$

Então, as soluções serão

$\log_2(x)=0$ ou $\log_2(x)=3$

Lembre-se da propriedade $\log_b(a)=c,~a=b^c$ tal que a, b e c satisfaçam as condições de existência dos logaritmos. Temos que:

$x=2^0$ ou $x=2^3$

Calculando as potências, ficamos com

$x=1$ ou $x=8$

A soma dos valores de $x$ serão:

$1+8=9~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra d).