Question

UFSM- Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se detA = detB ≠ 0, então det(1/2 A^t . B^-1) é igual a

Answer 1

Propriedades:

$\bullet\,\,\,\det(A^{t})=\det(A)\\\\\bullet\,\,\,\det(kA)=k^{n}\det(A),~\mathsf{onde~k~\'e~a~ordem~da~matriz~A}\\\\\bullet\,\,\,\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)$

Da terceira propriedade, sabendo que $\det(I_{n})=1$, onde $I_{n}$ é a matriz identidade de ordem n, chegamos em uma nova propriedade:

$\bullet\,\,\,\det(A)\neq0~~~\Longrightarrow~~~\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$
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$\det\big(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\big)=\big(\frac{1}{2}\big)^{n}\det(A^{t}B^{-1}\big)$

Pois se $A$ e $B$ são matrizes de ordem n, então $A^{t}$ e $B^{-1}$ também são matrizes de ordem n, logo o produto $A^{t}B^{-1}$ é uma matriz quadrada de ordem n

$\det\big(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\big)=\big(\frac{1}{2}\big)^{n}\det\big(A^{t}B^{-1}\big)$
 
Usando a propriedade 3:

$\det\big(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\big)=\big(\frac{1}{2}\big)^{n}\cdot\det(A^{t})\cdot\det(B^{-1})$

Usando as propriedades 1 e 4:

$\det\big(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\big)=\big(\frac{1}{2}\big)^{n}\cdot\det(A)\cdot\det(B^{-1})\\\\\\\det\big(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\big)=\big(\frac{1}{2}\big)^{n}\cdot\det(A)\cdot\dfrac{1}{\det(B)}\\\\\\\boxed{\boxed{\det\bigg(\frac{1}{2}A^{t}B^{-1}\bigg)=\frac{\det(A)}{2^{n}\det(B)}}}$

Answer 2

Temos que:

$det(A.B)=det(A).det(B) \\ det(A^{t})=det(A)$

Se A é uma matriz de ordem n, logo:

λλ$det( \lambda A) = \lambda^{n}.det(A) \\ \\ det( \frac{1}{2}A^{t}.B^{-1})=det( \frac{1}{2}A^{t}).det(B^{-1}) \\ \\ ( \frac{1}{2})^{n}det(A). \frac{1}{det(B)}=( \frac{1}{2})^{n}= \frac{1}{2^{n^}}$

Resposta: $\frac{1}{2^{n}}$ ou $2^{-n}$