Question

(UFSM) Dados os pontos A(4, 7), B(0, 3) e C(x, 2x + 1), os
possíveis valores de x para os quais a área do triângulo ABC
vale 6, são:
a) 3 e – 5.
b) 5 e 3.
c) – 1 e 5.
d) – 1 e – 5.
e) 5 e – 3.

Answer 1

A área de um triangulo no plano cartesiano pode ser calculada através do uso de determinantes., uma vez que metade do modulo do determinante sera igual a área do triangulo.

$\left[\begin{array}{ccc}4&7&1\\0&3&1\\x&(x+1)&1\end{array}\right] = Det$

Det = ao modulo de 12, ou seja + ou - 12

Com isso temos, 

3x + 4*(x+1) -12 - 7x = +/- 12

Simplificando a equação 

4x + 4 - 12 = +/- 12

4x + 4 = 24  ⇒ x = 5

4x + 4 = 0 ⇒  x = -1

Item C

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Aghatamaria, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: dados os pontos A(4; 7); B(0; 3) e C(x; 2x+1) como os vértices de um triângulo ABC, pede-se os possíveis valores de "x" para os quais a área desse triângulo vale "6 unidades de área".

ii) Veja que você poderá obter a área de um triângulo por meio do produto de "1/2" vezes o módulo do determinante da matriz formada a partir dos vértices do triângulo. Então vamos formar essa matriz a partir dos vértices dados e vamos calcular o módulo do seu determinante. Assim, teremos, já colocando a matriz em forma de desenvolver (regra de Sarrus) e igualando-a à área que tem o triângulo ABC, que é de 6 unidades de área:

.........||4.......7.......1|4..........7||
(1/2)* ||0......3.......1|0..........3|| = 6 ----- desenvolvendo, teremos:
........||x....(2x+1)...1|x....(2x+1)||

(1/2)*|4*3*1+7*1*x+1*0*(2x+1) - [x*3*1+(2x+1)*1*4+1*0*7]| = 6
(1/2)*|12+7x+0 - [3x+(2x+1)*4+0]| = 6 --- como (2x+1)*4 = 8x+4, teremos:
(1/2)*|12 + 7x - [3x+8x+4]| = 6
(1/2)*|12 + 7x - [11x + 4]| = 6---- retirando-se os colchetes, ficaremos:
(1/2)*|12 + 7x - 11x - 4| = 6 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(1/2)*|- 4x + 8| = 6 ----- veja que isto poderá ser escrito assim, o que é a mesma coisa:

1*|-4x+8|/2 = 6 ---- ou apenas:
|-4x + 8|/2 = 6 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
|-4x + 8| = 2*6
|-4x + 8| = 12

iii) Agora veja que temos aí em cima o módulo de alguma coisa sendo igual a um número inteiro. Quando isso ocorre, nós aplicamos a definição de módulo, que diz isto:

iii.1) Se (-4x+8) ≥ 0, teremos isto:

-4x + 8 = 12 ----- passando "8" para o 2º membro, temos:
-4x = 12 - 8
-4x = 4 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
4x = - 4
x = -4/4
x = - 1 <--- Este é um possível valor de "x".

iii.2) Se (-4x+8) < 0, teremos isto:

- (-4x+8) = 12 ---- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
4x - 8 = 12 --- passando "-8" para o 2º membro, teremos:
4x = 12+8
4x = 20
x = 20/4
x = 5 <--- Este é outro possível valor de "x".

iv) Assim, resumindo, temos que os possíveis valores de "x" serão estes:

x = -1, ou x = 5 <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.