Question

UFSM 2019

O Sr. Asdrúbal se preocupa muito com a segurança na internet, por isso troca mensalmente a senha de seu correio eletrônico. Para não esquecer a senha, ele utiliza o ano de nascimento de seu gato e a palavra PET para formar sua senha, totalizando 7 caracteres. No momento de alterar a senha, ele apenas inverte a ordem da palavra e dos números. Sabendo que o gato nasceu no ano de 2009 e que as letras da palavra PET são mantidas juntas e nessa mesma ordem, quantas senhas distintas o Sr. Asdrúbal consegue formar ?

Answer 1

teremos um total de 60 senhas distintas possíveis.

Podemos desenhar uma tabela onde A B C D e E representam casas que podem armazenar uma variável.

$\begin{matrix} PET&2&0&0&9\\A&B&C&D&E\end{matrix}$

Note que PET é uma única variável (juntas e nesta mesma ordem)

Comecemos com a palavra PET.

Ela pode ocupar qualquer um de A B C D ou E.

Então temos um total de 5 possibilidades.

Suponha agora que PET ocupe a letra A.

Então 2 pode ocupar um total de 4 casas, ou seja, tem 4 possibilidades.

Como estas 4 possibilidades não dependem das 5 possibilidades da palavra pet, teremos que 5*4=20 possibilidades de escrever PET e 2 nas casas dadas.

Em seguida temos o número 9.

Este número 9 possui 3 casas possíveis para ocupar.

Portanto, 5*4*3=60 possibilidades de escrever PET e 2 e 9 em 5 casas.

Por fim trataremos dos zeros que, possuem um "probleminha" por causa de serem repetidos.

Vamos chamar os zeros de $0_A$ e $0_B$ para poder distingui-los.

$0_A$ pode ocupar uma dentre as duas casas restantes. Em seguida, $0_B$ tem apenas uma casa.

Então, a princípio temos duas casas = 2 possibilidades.

Mas se começarmos com $0_B$ e, em seguida, colocarmos $0_A$, não fará diferença.

Perceba que 2009 =2$0_A$$0_B$9=2$0_B$$0_A$9

Portanto, para saber a quantidade real, precisamos dividir 2 pelo número de trocas entre $0_A$ e $0_B$

So existe duas opcoes:

$0_A$$0_B$ ou $0_B$$0_A$

Portanto precisamos dividir por 2.

2/2=1

Logo, no total, teremos 5*4*3*(2/2)=60*1=60

Answer 2

O número de senhas distintas que o Sr. Asdrúbal irá formar é de 60, o que torna correta a alternativa e).

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é a permutação com repetição.

Em análise combinatória, a permutação com repetição é utilizada quando desejamos saber de quantas maneiras podemos combinar elementos de um conjunto, sendo que nesse conjunto existem elementos que se repetem.

Com isso, observando o caso do Sr. Asdrúbal, ele forma as suas senhas com a palavra PET (com as letras nessa ordem), e com os números 2009. Assim, caímos em um caso de permutação com repetição, pois o número 0 se repete.

Como a palavra PET é mantida na mesma ordem, temos que considerá-la como um elemento do conjunto, sendo os outros elementos do conjunto 2, 0, 0, 9.

Assim, utilizando a fórmula da permutação com repetição, com n = 5 elementos (o conjunto é {PET, 0, 0, 2, 9}), e a = 2 (elementos que se repetem), obtemos que o valor de senhas é de

                                               $P_{5}^2 = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$

Com isso, concluímos que o número de senhas distintas que o Sr. Asdrúbal irá formar é de 60, o que torna correta a alternativa e).

Para aprender mais, acesse

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