Question

(UFSE) Se A e B são dois conjuntos não vazios e ∅ é o conjunto vazio, é verdade que, das afirmações: I. A ∩ ∅ = {∅ } II. (A – B) ∪ ( B – A) = ( A∪ B) – (A ∩ B) III. { A∪ B } = {A} ∪ {B} IV. ∅ ∈ {∅ , A, B} são verdadeiras somente:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

I. errada: a interseção deveria ser o conjunto vazio, e não um conjunto cujo elemento é o conjunto vazio.

Obs.: está correto dizer que um conjunto pode ser elemento, como neste caso ( { \emptyset } ), onde o conjunto vazio é elemento do conjunto que o possui ?

II. correta: usando o diagrama de Venn se pode perceber a validade desta assertiva.

III. errada: o conjunto do conjunto união é um conjunto formado pelo elemento conjunto união. Por outro lado, a união do conjunto formado pelo elemento conjunto A com o conjunto formado pelo elemento conjunto B é conjunto vazio, pois o elemento conjunto A não é necessariamente igual ao elemento conjunto B.

IV. correta: o conjunto vazio é elemento do conjunto dado.

Answer 2

Com o estudo sobre conjuntos, podemos afirmar que verdadeiramente as alternativas corretas são:

• $II)(A - B) \,\,\,\cup\,\,\,(B - A) = (A\,\,\,\cup\,\,\,B) - (A\,\,\,\cap\,\,\,B)$

• $IV)\emptyset\,\,\,\in\,\,\,\{ \emptyset , A , B \}$

Conjunto

• Conjunto: uma coleção de elementos distintos.
• Elemento: cada objeto pertencente a um conjunto.
• Conjunto vazio (∅): o conjunto com nenhum elemento.
• Conjunto das partes (℘(S)): o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto.
• Subconjunto: um conjunto tal que todos os elementos pertencentes a ele também pertençam a um conjunto.

Observação:

•  Todo conjunto contém a si mesmo.
•  O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Demonstração 1:

• a definição de um subconjunto diz: todos os elementos de um conjunto A devem ser também elementos de B: ∀x (x ∈ A → x ∈ B).
• Aplicando isso a S, obtemos:
• ∀x (x ∈ S → x ∈ S) que é trivialmente Verdadeiro
• Fim da prova

Nota sobre equivalência:

• Dois conjuntos são iguais se cada um for um subconjunto do outro conjunto.

Demonstração 2:

subconjunto: todos os elementos de um conjunto A devem ser também elementos de B: ∀x (x ∈ A →x ∈ B).

• Devemos mostrar a seguinte implicação válida para qualquer S

∀x (x ∈∅ → x ∈ S)

• Como o conjunto vazio não contém nenhum elemento, x ∈ ∅ é sempre falso
• Então a implicação é sempre Verdadeira.

Fim da prova

Agora, vamos descobrir ℘(∅): conforme as pressuposições supracitadas, os subconjuntos de ∅ é ∅ e ele mesmo (que são idênticos, portanto o único subconjunto dele é ∅). Logo:

•  ℘(∅) = {∅}

Com isso já podemos perceber que ∅ ≠ {∅}, pois todo conjunto é diferente de seu conjunto das partes (o conjunto sempre terá cardinalidade menor que seu conjunto das partes):

•  O conjunto das partes tem cardinalidade 2ⁿ , onde n é cardinalidade do conjunto original, logo:

     se |∅| = 0, então |2 ^∅| = 1

Assim sendo, ∅ ≠ {∅}.

∎

Sendo assim, temos

I) a interseção é o conjunto vazio, aqui ele aparece como elemento de cum conjunto. -> Falso

II)

(A-B) U (B-A) = A U B

(A U B ) - (A inter B ) = A U B

Verdadeiro

III) ( A U B ) = {A} U {B} -> aqui os conjunto A e B aparecem como elementos de outros dois conjuntos. -> Falso

IV) o conjunto vazio é elemento do conjunto dado -> Verdadeiro

Saiba mais sobre conjuntos:https://brainly.com.br/tarefa/46331562

#SPJ2