(UFSCar-SP) Uma formiga de massa m encontra-se no topo de uma bola de bilhar rigidamente presa ao solo, conforme a figura. A bola possui raio R e superfície altamente polida. Considere g a aceleração da gravidade e despreze os possíveis efeitos dissipativos. A formiga começa a deslizar na bola com velocidade inicial nula.
a) Calcule o módulo da velocidade da formiga no ponto em que ela perde contato com a bola.
b) Calcule a altura, a partir do solo, em que a formiga perde o contato com a bola.
Soluções para a tarefa
a) Vamos supor que seja no ponto X que a formiga perca contato com a bola. Nesse ponto, a reação normal deixa de existir agindo sobre a formiga somente seu peso, que é a força resultante centrípeta, dirigida para o centro da circunferência e de intensidade FRC=m.VX2/R.
( Primeira imagem)
Observe no triângulo menor
– cosa=FRC/P — FRC=P.cosa=mgcosa — mgcosa=mVX2/R — gcosa=VX2/R I — observe no triângulo maior – cosa=h/R, que substituído em I — g.h/R=VX2/R — VX2=g.h
b) Chamando a posição inicial da formiga de Y e considerando a horizontal que passa por X como nível zero de altura:
(Segunda imagem)
EmY=EcY + EpY=0 + mg.(R-h) — EmY=m.g.(R-h) — EmX=EcX + EpX=m.VX2/2 + 0 — EmX=m.VX2/2 — EmY=EmX —
EmY=EcY + EpY=0 + mg.(R-h) — EmY=m.g.(R-h) — EmX=EcX + EpX=m.VX2/2 + 0 — EmX=m.VX2/2 — EmY=EmX — m.g.(R-h)=m.VX2/2 — VX2=2.g.(R-h) — que substituído em VX2=g.h — g.h=2.g.R – 2.g.h — 3h=2R — h=2R/3
Espero ter ajudado!
att: starsinthsky
