Question

(UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute o instante em que a bola retornará ao solo

1s

2s

3s

4s

5s

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Devemos ter "h" igual a zero:

-2t²+8t=0

∆=b²-4.a.c

∆=(8)²-4.(-2).(0)

∆=64+0

∆=64

x'=(-8+√64)/2.(-2)

x'=(-8+8)/-4

x'=0/-4

x'=0s (não serve)

x"=(-8-√64)/2.(-2)

x"=(-8-8)/-4

x"=-16/-4

x"=4s (serve)

Answer 2

Resposta:

4 segundos após ser chutada , é quando retorna a bola ao solo

( consultar gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

Trajetórias de bolas, neste caso, desde que chutadas por um jogador,

descrevem trajetórias equivalentes a parábolas, com concavidade virada

para baixo.

Quando falamos em " tempo " , neste caso haverá duas vezes em que a

bola está no solo:

1ª vez - quando o goleiro a chuta.

2ª vez - quando a bola retorna ao solo

O solo , no sistema cartesiano de eixos, funciona como o eixo do x.

Assim a altura ( h(t) ) da bola será igual a zero nos pontos em que a

equação da trajetória for igual a zero.

Mas repare, uma parábola ( que é o gráfico de equações do 2º grau ) tem

valor de " t " igual a zero quando se calcula os zeros ( raízes ) da equação

dada.

( O fato de estar incógnita " t " ou " x " não altera nada no raciocínio )

Observação 1 → Resolução de equações do 2º grau

Todas podem ser resolvidas pela Fórmula De Bhascara.

Quando a equação é incompleta, há formas mais rápidas de obter os zeros.

Observação 2 → Equação completa do 2º grau

ax² + bx + c = 0      com  a; b ; c ∈ |R

A equação   h(t) = – 2t² + 8t    (t ≥ 0)  é incompleta pois falta o termo

independente ( o " c " ).

Cálculos

- 2 t² + 8 t = 0

⇔

- 2 t * t + 8 t = 0

Colocar o " t " em evidência

t * ( - 2t + 8 ) =

Esta é uma equação Produto

Observação 3 → Resolução de Equação Produto

Uma equação produto é igual a zero quando, pelo menos um dos fatores

for igual a zero.

t = 0       ∨      - 2t + 8  = 0

t = 0        ∨      - 2t = - 8        ←  dividindo tudo por " - 2 "

t = 0        ∨      - 2t / ( - 2 )  = - 8  ( - 2 )

t = 0        ∨       t = 4

O tempo t é em segundos.

t = 0 segundos é quando o goleiro chuta a bola

t = 4  segundos é quando a bola retorna ao solo

Observação 4 → O que é um fator ?

É um elemento de uma multiplicação.

Exemplo :

3 * 2

tem os fatores 3 e o 2.

Bons estudos.

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