Question

(UFSCar-SP) No sistema representado na figura, não há atritos e o fio é inextensível e tem peso
desprezível. No local, a intensidade da aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2. Ignorando
a influência do ar, calcule o intervalo de tempo que o corpo A (de massa m = 4 kg) leva
para atingir a base do corpo B (de massa M=10 kg) quando é abandonado de uma altura h
= 10 m em relação a B.

Answer 1

O bloco A demora, aproximadamente, 1,94 segundos para cair a altura h = 10m.

A base para a resolução dessa questão é entender e visualizar a atuação das forças nos dois blocos. Anexei uma figura com um diagrama parcial de forças, para ajudar nesse sentido (as forças horizontais estão em vermelho e as verticais em roxo).

No ponto de contato entre os dois corpos (A e B) existirá uma força de contato, horizontalmente opostas, conforme vemos na figura. Matematicamente, elas são iguais em módulo:

$F_{AB} = F_{BA}$

Notamos também que existe uma polia presa no topo do bloco B. Logo, ela irá se mover juntamente com o bloco B. Isso quer dizer que a força de tração do único fio do sistema também puxará a polia (e consequentemente o bloco B, pois não há atrito) com a mesma força.

Com isso em mente, podemos dizer que no bloco B atuam apenas forças horizontais, de tal modo que:

$F_{resultante} = T + T - F_{AB}\\\\Ma = 2T - F_{AB}$

Lembrando que a é a aceleração do sistema compartilhada por ambos os blocos e que adotaremos o sentido positivo como sendo da esquerda para a direita.

Agora, tomando o bloco A, horizontalmente vamos ter:

$F_{BA} = ma$

Tomando a primeira relação que encontramos, teremos:

$F_{AB} = F_{BA} = ma$

Substituindo isso na fórmula deduzida para o bloco B:

$Ma = 2T - ma\\\\2T = (m + M)a\\\\T = \frac{(m + M)a}{2}$

Vamos então analisar as forças verticais atuantes no bloco A, tomando agora o sentido de baixo para cima como sendo o positivo:

$F_{resultante} = P_A - T\\\\m(2a) = mg - T\\\\T = mg - 2ma = m(g - 2a)$

Aqui vem o pulo do gato. Como os blocos estão ligados por vínculo geométrico, analisando a situação (principalmente o fato da polia acima de A não estar fixa na parede/teto), vemos que o bloco A estará sujeito, verticalmente, a duas vezes a aceleração do sistema. Tal aceleração aqui é proveniente da configuração.

Podemos então igualar as duas fórmulas para a tensão T que encontramos:

$\frac{(m + M)a}{2} = m(g - 2a)\\\\(m + M)a = 2m(g - 2a) = 2mg - 4ma\\\\(m + M)a + 4ma = 2mg\\\\(m + M + 4m)a = 2mg\\\\(M + 5m)a = 2mg\\\\a = \frac{2mg}{M + 5m}$

Por fim, considerando que o bloco A está inicialmente em repouso vamos ter a seguinte equação para o seu movimento de queda (não esquecendo sempre que a aceleração aqui será 2a):

$h = 0 + 0 + \frac{(2a)t^2}{2} \\\\t^2 = \frac{2h}{2a} \\\\t = \sqrt{\frac{h}{a} }$

Substituindo a aceleração deduzida anteriormente:

$t = \sqrt{\frac{h}{\frac{2mg}{M + 5m} } } = \sqrt{\frac{h(M + 5m)}{2mg} }$

Substituindo os valores fornecidos no enunciado:

$t = \sqrt{\frac{h(M + 5m)}{2mg} }= \sqrt{\frac{10(10 + 5*4)}{2*4*10} } = \sqrt{\frac{300}{80} } = \sqrt{3,75} = 1,94 s$

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