Question

(UFSCAR-adapt) Para fins beneficentes, foi
organizado um desfile de modas num salão
em forma de círculo, com 20 metros de raio.
A passarela foi montada de acordo com a
figura, sendo que as passarelas CA e CB são
lados que corresponderiam a um triângulo
equilátero inscrito na circunferência. Determine
quantos metros cada modelo desfilou, seguindo
uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB.
(Adote 13 = 1,73).​

Answer 1

Temos um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência. Dado que r seja o raio do círculo e $\ell$ o lado do triângulo, podemos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar uma relação entre raio e lado:

$\ell^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot cos(120\textdegree)$

$\ell^2 = 2 \cdot r^2 - 2 \cdot r^2\cdot (-cos(60\textdegree))$

$\ell^2 = 2 \cdot r^2 + 2 \cdot r^2 \cdot \dfrac{1}{2}$

$\ell^2 = 2 \cdot r^2 + r^2$

$\ell^2 = 3 \cdot r^2$

$\ell = \sqrt{3} \cdot r$

Ou seja, o lado do triângulo equilátero é raiz de 3 vezes maior do que o raio do círculo. A modelo parte de B até C (um lado do triângulo), passa de C até A (mais um lado do triângulo, e então percorre o trecho de A até O (raio do círculo) e de O volta para B (mais um raio). A distância total percorrida será:

$D = \ell + \ell + r + r = 2 \cdot \ell + 2 \cdot r = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot r + 2 \cdot r$

$D = 2 \cdot r \cdot (\sqrt{3}+1)$

$D = 2 \cdot 20 \cdot (1,73+1)$

$D = 40 \cdot (2,73)$

$\boxed{D = 109,2 \text{ m}}$