Question

(UFSC-SP) - A expressão $\frac{a^{ - 2} + b^{ - 2} }{ {a}^{ - 1} + {b}^{ - 1} }$ é equivalente a:

a) $\frac{ {a}^{2} + {b}^{2} }{a + b}$

b) $\frac{ {b}^{2} + {a}^{2} }{ab(b + a)}$

c) $\frac{b + a}{ab}$

d) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

e) $a + b$

Obs: Alternativa letra b. Resolução por favor!

Answer 1

Resposta:

Letra B

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Antes de começarmos a manipular a expressão dada, vamos lembrar que:

$x^{-a} = \frac{1}{x^{a}}$

Dessa forma, da expressão temos:

$\frac{a^{ - 2} + b^{ - 2} }{ {a}^{ - 1} + {b}^{ - 1} } = \frac{\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} }{\frac{1}{a} +\frac{1}{b}}$

Tirando o m.m.c em cima e em baixo temos:

$\frac{\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} }{\frac{1}{a} +\frac{1}{b}} = \frac{\frac{b^2 +a^2}{a^2b^2} }{\frac{b+a}{ab}} = \frac{b^2 +a^2}{a^2b^2} \times {\frac{ab}{b+a} = \frac{b^2 +a^2}{ab} \times {\frac{1}{b+a} = \frac{b^2 +a^2}{ab(b+a)}$

Letra B

Bons estudos!!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Nathalia, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para encontrar o equivalente à seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = [a⁻² + b⁻²] / [a⁻¹ + b⁻¹] .

Agora lembre-se de que: a⁻² = 1/a²; b⁻² = a/b²; a⁻¹ = 1/a¹ = 1/a; e b⁻¹ = 1/b¹ = 1/b. Assim, vamos na nossa expressão "y" e vamos substituir os valores ali expressos pelos valores equivalentes que acabamos de ver. Assim a nossa expressão "y" ficará sendo esta:

y = [1/a² + 1/b²] / [1/a + 1/b] .

Agora veja isto:

- no numerador (1/a² + 1/b²) o mmc será: a²b². Assim, utilizando o mmc iremos ficar assim (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

(1/a² + 1/b²) = (b²*1 + a²*1)/a²b² = (b²+a²)/a²b².

e

- no denominador (1/a + 1/b) o mmc = ab. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se como se utiliza o mmc já visto aí em cima):

(1/a + 1/b) = (b*1 + a*1)/ab = (b+a)/ab.

Agora vamos levar para a nossa expressão "y" o que acabamos de encontrar para o numerador e para o denominador após havermos utilizado o mmc em ambos. Assim ficaremos com:

y = [(b²+a²)/a²b²] / (b+a)/ab] ---- agora note que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim teremos:

y = [(b²+a²)/a²b²] * [ab/(b+a)] ---- efetuando-se os produtos indicados, ficamos com:

y = (b²+a²)*ab / (b+a)*a²b² ---- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos reescrever o numerador e o denominador da seguinte forma, o que dará na mesma coisa:

y = [ab*(b²+a²)] / [a²b²*(b+a)] ----- note que "a²b²", que está no denominador, é a mesma coisa que ab*ab (pois ab*ab = a²b², ok?). Assim, substituindo-se, teremos:

y = [ab*(b²+a²)] / [ab*ab*(b+a)] ---- simplificando-se "ab" do numerador com um dos "ab" do denominador, iremos ficar apenas com:

y = (b²+a²) / ab(b+a) <---- Pronto. Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.