Question

UFSC 2019/2 : Se o número complexo Z = (2+i)/(3+xi) é um imaginário puro, então x^2 é divisor de 72.

Essa afirmação é correta ou errada? Cálculo por favor, obrigada

Answer 1

Resposta:

Essa afirmação está correta

Explicação passo a passo:

se z = $\frac{2+i}{3+xi}$ é imaginário puro, a parte real tem que ser igual a zero:

primeiro temos que multiplicar os dois pelo conjugado do número que está em baixo

z = $\frac{2+i}{3+xi}.\frac{3 - xi}{3-xi}$  ==>

z = $\frac{6 - 2xi+3i -xi^2}{9 - x^2.i^2}$

z = $\frac{6+x -2xi + 3i}{9+x^2}$

z = $\frac{6+x}{9 + x^2} - \frac{2xi+3i}{9+x^2}$ ==> vamos pegar a parte real e igualar a zero ==>

$\frac{6+x}{9+x^2} = 0$

6+x = 0

x = -6

x² = 36

72/36 = 2

Answer 2

Resposta: AFIRMAÇÃO CORRETA

Explicação passo a passo:

Z = (2 + i) / (3 + xi)

É preciso racionalizar o denominador. Para isso multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de  3 + xi é 3 - xi {para obter o conjugado é só trocar o sinal da parte imaginária].

Z = (2 + i)(3 - xi) / (3 + xi) (3 - xi)

Z = (6 - 2xi + 3i - xi² ) / (9 - x²i²)

Lembrando que i² = - 1 [teoria dos complexos].

Z = (6 - 2xi + 3i + x) / (9 + x²) [em negrito está a parte real do numerador]

Para o número ser imaginário puro é necessário que a parte real seja zero.

Então, 6 + x = 0

x = - 6

x² = (-6)² = 36

36 é divisor de 72 pois 72/36 = 2 => AFIRMAÇÃO CORRETA