UFSC 2019/2: Se i é a unidade imaginária, então (1+i)ˆ15/(1-i)ˆ13 é um número real negativo.
Essa afirmativa está correta ou errada? Cálculo por favor, obrigada
Soluções para a tarefa
Resposta: A afirmativa está correta
Explicação passo a passo:
(1+i)ˆ15/(1-i)ˆ13
Usando as propriedades das potências substitua o numerador por dois fatores de base (1 + i). Em seguida agrupe o primeiro fator com o denominador, ambos elevado ao expoente 13. Racionalize essa fração e simplifique.
[(1 + i)¹³/(1-i)^13] . (1+i)² =
= [(1+i)/(1-i)]¹³ . (1+i)² =
= [(1+i)²/(1-i)(1+i)]¹³ . (1+i)² =
= [(1+2i +i²)/(1-i²)]¹³ . (1+i)² =
= [1 +2i -1)/(1 +1)]¹³ . (1+i)² =
= (2i/2)¹³. (1+i)² =
= (i)¹³.(1+i)² =
Desenvolva o 2º fator,
= i¹³ (1 +2i +i²) =
Não se esqueça que i² = - 1
= i¹³.(1 + 2i -1) =
= i¹³.2i =
= 2.i¹³.i =
Use novamente a propriedade das potências de mesma base
= 2.i¹².i² =
Teoria dos complexos como i^4 = 1, i elevado a qualquer número que seja múltiplo de 4 é 1 então i¹² = 1
= 2(1).i² =
Como i² = -1.
= 2(-1) = - 2 => que é um número real negativo.
Portanto a afirmativa está correta