Question

(UFRS) O conjunto solução da inequação $3^{2-x$ + $3^{2+x$ >18 é:

a) {x∈|R | x² < 0}
b) {x∈|R || x | < 3}
c) {x∈|R | x² > 0}
d) {x∈|R | x < 0}
e) {x∈|R | x > 0}

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o conjunto-solução da inequação abaixo:

3²⁻ˣ + 3²⁺ˣ > 18

Agora veja que:

3²⁻ˣ = 3²/3ˣ = 9/3ˣ
e
3²⁺ˣ = 3²*3ˣ = 9*3ˣ

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

9/3ˣ + 9*3ˣ > 18 ------ vamos passar "18" para o 1º membro da desigualdade, ficando assim:

9/3ˣ + 9*3ˣ - 18 > 0 ------ mmc = 3ˣ . Assim, utilizando-o em toda a expressão, ficaremos da seguinte forma:

1*9 + 3ˣ*9*3ˣ - 3ˣ*18 > 0 ---- ou, o que é a mesma coisa:
9 + 9*3ˣ⁺ˣ - 18*3ˣ > 0 ---- ou, ainda:
9 + 9*3²ˣ - 18*3ˣ > 0 ---- vamos ordenar, ficando assim:
9*3²ˣ - 18*3ˣ + 9 > 0 ----- agora vamos fazer 3ˣ = y. Com isso, ficaremos:
9y² - 18y + 9 > 0.

Veja: ficamos com uma equação do 2º grau em "y". Faremos o seguinte: encontraremos as suas raízes. Depois, em função delas (das raízes) encontraremos a variação de sinais da inequação original.
Para encontrar as raízes, vamos igualar a expressão a zero, ficando:

9y² - 18y + 9 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "9", com o que ficaremos:

y² - 2y + 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = y'' = 1 (ou seja, há duas raízes reais e ambas iguais a "1").

Mas veja que fizemos 3ˣ = y. Então:

i) Para y = 1, teremos:

3ˣ = 1 ---- veja que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por 3⁰. Então:

3ˣ = 3⁰ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

x = 0 <--- Este será o valor de "x".

Como já sabemos quais são as raízes, então vamos estudar a variação de sinais da inequação original. Assim:

9*3²ˣ - 18*3ˣ + 9 > 0...+ + + + + + + + (0)+ + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação original seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima.
Assim, o domínio será: x ≠ 0 . Note que se o "x" for igual a zero, toda a expressão será zero. E queremos que seja maior do que zero.

Ou, se quiser, o domínio poderá ser apresentado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ IR | x ≠ 0} <---- Esta é a resposta. Não existe nenhuma opção que dê exatamente igual à resposta que demos aqui.

Contudo, a opção poderia ser a da letra "c", que afirma x² > 0, o que significaria poder "x" ser menor do que zero e "x" ser maior do que zero. Logo, ficaremos com a opção "c", que afirma:

D = {x ∈ IR | x² > 0} <---- Esta seria a resposta,considerando que não existe nenhuma opção que dê exatamente a mesma resposta que demos. Porém, se considerarmos que x² > 0, então o "x" poderá ser negativo ou positivo, o que daria no mesmo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

O conjunto solução da inequação é {x∈|R | x² > 0}, portanto, a alternativa correta é a letra c.

Para saber os valores de x para os quais  $3^{2-x} + 3^{2+x}$ é maior do que 18, temos que manipular a inequação de forma a determinar a restrição mais facilmente.

Sabendo que $x^{a-b}=\frac{x^{a}}{x^{b}}$, temos que:

$\frac{3^{2}}{3^{x}} +3^{2}.3^{x} >18$

Multiplicando todos os termos da inequação por $3^{x}$, temos:

$3^{2} +3^{2}.3^{x}.3^{x} >18.3^{x}$

$3^{2}.(3^{x})^{2}- 18.(3^{x}) + 3^{2} >0$

$9.(3^{x})^{2}- 18.(3^{x}) + 9 >0$

$(3^{x})^{2}- 2.(3^{x}) +1 >0$

Observamos então que a inequação assumiu a forma de uma equação biquadrada, onde $y = 3^{x}$. Podemos assumir então:

y² - 2y + 1 > 0

(y - 1)² > 0

Temos, então, que para y > 1 e para y < 1,  y² - 2y +1 > 0.

Para y > 1:

$3^{x}$ > 1

$3^{x}$ > $3^{0}$

x > 0

Para y < 1:

$3^{x}$ < 1

$3^{x}$ < $3^{0}$

x < 0

Desta forma, concluímos que para x > 0 e para x < 0, $3^{2-x} + 3^{2+x}>18$, logo o conjunto solução dessa inequação seria {x ∈ IR | x $\neq$ 0}.

Contudo, como essa resposta não existe, temos que achar, dentre as alternativas, o conjunto solução equivalente. Como para todo x $\neq$ 0, temos que x² > 0, a resposta correta seria {x∈|R | x² > 0}, ou seja, letra c.

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