Question

(Ufrs) A equação
${2mx}^{2} +mx + \frac{1}{2} = 0$
Possui 2 raízes reais distintas.Então

Resposta: m<0 ou m>4

Answer 1

Olá...

A equação 2mx² + mx + ½ = 0 é uma função polinomial de 2 grau, em outros termos, é uma função quadrática.

E ela contém algumas propriedades que tornam a construção do gráfico verdadeiro. Dentro de uma destas propriedades, podemos citar sobre o delta, ∆.

Os valores de ∆ podem revelar se existe ou não existe raízes. E quantas existem caso realmente exista.
Quando o:
∆ < 0 → podemos dizer que não existe raízes, pois entra nos número complexos.
∆ = 0 → podemos dizer que existe uma única raiz no gráfico.
∆ > 0 → podemos dizer que existe duas raízes no gráfico.

O ∆ que estamos falando é o mesmo ∆ que compõe a fórmula de Bhaskara. Logo:

∆ = b² – 4ac

Como queremos duas raízes, conforme explícita o enunciado, ele deverá ser maior que zero:

∆ = b² – 4ac > 0

Na equação 2mx² + mx + ½, os coeficientes a,b e c são equivalentes a:
a = 2m
b = m
c = ½

Lançando estes valores no ∆.

b² – 4ac > 0
m² – 4(2m)(½) > 0
m² – 4m > 0

Agora é só resolver a equação m² – 4m > 0. Podemos resolver de duas formas: ou por Bhaskara ou por fatoração. Farei por fatoração, pois economiza tempo e espaço:

m² – 4m > 0
m × (m – 4) > 0

ou o "m > 0"
ou o "m – 4 > 0 → "m > 4"

eu anexei o gráfico de "m² – 4m" para que você possa acompanhar, ele pode ser desenvolvido em folha também rapidamente!

Quando eu escrevo ∆ > 0, eu quero dizer que os valores para o eixo y devem ser positivos. Se parar para pensar e analisar, somente após o m = 4 os valores de y são positivos; e os valores antes de m = 0 são positivos.

Desta forma, para obtermos ∆ > 0, ou seja, valores de y positivos, os valores de m tem que estarem entre m < 0 e m > 4.

Concluindo assim a resposta!

Espero que você entenda!