Question

(UFRRJ) Determine a inversa da matriz A = (aij)2x2, em que os elementos de A são definidos por

$aij\left \{ {{sen (i+j)\pi, se i=j } \atop {cos (j-i)\pi , se i \neq j }} \right.$

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos a matriz (2x2) dada pela estrutura:

$\begin{bmatrix}a11&a12 \\ a21 &a22 \end{bmatrix} \tiny(2 \times 2)$

A questão nos informa algumas condições, são elas:

$\boxed{ \begin{array}{r|c} \sin(i + j)\pi& \cos(j - i)\pi \\ se \: \: i = j & i \neq \end{array}}$

Para calcular o os elementos vamos usar os números que representam a linha e a coluna que esse elemento se encontra.

Ex: a14 → i = 1, j = 4, ou seja, i ≠ j nesse caso usaríamos o cálculo cos(j - i)π.

$\begin{cases}a11 \rightarrow i = 1 \: \: \: j = 1 \rightarrow i = j\\ a11 \rightarrow \sin(i + j)\pi \\ a11 \rightarrow \sin(1 + 1)\pi \\ a11 \rightarrow \sin2\pi \\ \\ a12 \rightarrow i = 1 \: \: \: j = 2 \rightarrow i \neq j \\ a12 \rightarrow \cos(j - i)\pi \\ a12 \rightarrow \cos(2 - 1) \pi \\ a12 \rightarrow \cos\pi \\ \\ a21 \rightarrow i = 2 \: \: \: \: j = 1 \rightarrow i \neq j \\ a21 \rightarrow \cos(j - i)\pi \\ a21 \rightarrow \cos(1 - 2)\pi \\ a21 \rightarrow - \cos\pi \\ \\ a22 \rightarrow i = 2 \: \: \: j = 2 \rightarrow i = j \\ a22 \rightarrow \sin(i - j)\pi \\ a22 \rightarrow \sin(2 - 2)\pi \\ a22 \rightarrow \sin0\pi \end{cases}$

A matriz será dada por:

$\begin{bmatrix} \sin2\pi & \cos\pi \\ - \cos\pi & \sin0\pi \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} \sin360 & \cos180 \\ - \cos180 & \sin0 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 0 & - 1 \\ - ( - 1)& 0 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 0& - 1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}$

Digamos agora que a inversa é composta por a, b, c e d:

$\begin{bmatrix} 0& - 1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} .\begin{bmatrix} a&b \\c&d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 0.a + (- 1).c& 0.b + ( - 1).d \\ 1.a + 0.c &1.b + 0.d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 0 - c& 0 - d \\ a + 0&b + 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{cases} - c = 1.( - 1) \\ c = - 1 \\ \\ - d = 0.( - 1) \\ d = 0 \\ \\ a + 0= 0 \\ a = 0 \\ \\ b = 1 \end{cases}$

$\boxed{A {}^{ - 1} = \large\begin{bmatrix} 0& 1 \\ - 1 &0 \end{bmatrix}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️