Question

UFRR(2016) o polinômio do terceiro grau coeficientes reais, P(x) = x^3- 3x^2 + 6x - 8, tem duas raízes complexas z e z e uma raiz real x=2. Podemos afirmar que a soma das raízes complexas z e z é:

Resp: 1​

Answer 1

Resposta:

Soma das raízes é 1.

( ver gráfico em anexo mostrando que tem só uma raiz real x= 2 )

Explicação passo a passo:

$P(x) = x^3- 3x^2 + 6x - 8$

a =    1

b = - 3

c =   6

d = - 8

Tendo uma raiz real x = 2 pode-se através do dispositivo Briot / Ruffini

baixar o grau da função inicial para uma função do 2º grau.

raiz | todos os coeficientes do polinómio

      |      a       e       f       g

raiz  |     a         b          c         d

       |      a         e          f          g

"a" repetido do de cima

e = a * raiz + b

f =  e * raiz + c

g = f * raiz + d

Sendo "a" uma raiz do polinómio, logo P(a) = 0, então g = 0

__2  |   1       - 3        6         - 8_

        |   1       - 1         4            0

         x²      - x        + 4  

       

Obtemos um novo polinómio, de grau inferior em uma unidade do grau

de P(x), que tem grau 3.

Calculemos as raízes de   x² - x  + 4

Formula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a             Δ = b² - 4 * a * c            a ≠ 0

a =   1

b = - 1

c =   4

Δ = ( - 1 )² - 4 * 1 * 4 = 1 - 16 = - 15

Estamos no bom caminho na resolução pois quando Δ < 0 a equação

não tem raízes reais, mas sim raízes complexas.

$x_{1} =\dfrac{-(-1)+\sqrt{-15} }{2} =\dfrac{1+i\sqrt{15} }{2}$

$x_{2} =\dfrac{-(-1)-\sqrt{-15} }{2} =\dfrac{1-i\sqrt{15} }{2}$

Somando as raízes

$\dfrac{1+i\sqrt{15} }{2}+\dfrac{1-i\sqrt{15} }{2}=\dfrac{1+i\sqrt{15}+1-i\sqrt{15} }{2} =\dfrac{1+1}{2} =1$

Soma das raízes é 1.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação        ( / )  divisão    ( ≠ )  diferente de

( ± ) mais ou menos

( x1 e x2 ) nomes dados às raízes da equação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.